Читая Пескина и Шредера

[IvanMazepa]

Здравствуйте. Создаю общую тему, где буду задавать вопросы, возникающие при прочтении An Introduction to Quantum Field Theory by Peskin and Schroeder. Все ссылки на формулы, параграфы и разделы будут относиться к английскому изданию этой книги 1995 года. В настоящий момент это издание доступно (к сожалению, без рисунков) по ссылке: http://iate.oac.uncor.edu/~manuel/libro ... roeder.pdf Полный текст можно скачать на Колхозе, в других библиотеках или купить.

-- 15.02.2015, 20:52 --

Первый вопрос относится к странице 54 третьего раздела. Вслед за $\eqn{(3.92)}$ вычисляется коммутатор:
$\displaystyle \left[ \psi_a (x),\overline{\psi}_b (y) \right] = \dots = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}} \left( ({\not}p + m)_{ab} e^{-i p \cdot (x-y)} + ({\not}p - m)_{ab} e^{i p \cdot (x-y)} \right) = (i{\not}\partial_x + m)_{ab} \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}} \left( e^{-i p \cdot (x-y)} - e^{i p \cdot (x-y)}\right) = \dots $

Непонятно как удалось вынести $(i{\not}\partial_x + m)_{ab}$ из-под знака интеграла. Раньше (формула $\eqn{(2.54)}$ во втором разделе) для похожего интеграла использовался трюк (который авторы тоже не объяснили), когда во втором члене делалась замена $\mathbf{p} \to -\mathbf{p}$, при этом интегральная мера, как выясняется, не меняется. Однако здесь такая замена не работает, ведь она не только не преобразовывает $({\not}p - m)$ в $({\not}p + m)$, но еще и путает знаки в экспоненте. Как удалось совершить преобразование $({\not}p - m)$ в $({\not}p + m)$ во втором члене НЕ меняя при этом знак в соответствующей экспоненте для меня пока загадка.

-- 15.02.2015, 21:14 --

UPDATE: блин, похоже это проверяется банальным дифференцированием. Меня сбило с толку обозначение $i{\not}\partial_{x}$, я почему-то подумал, что это то же самое что ${\not}p$
Ну, ничего. Это хорошо, что я так быстро нахожу свои ошибки. Но дальше (раздел 4) будет жарче.

[Munin]

Простите за левый вопрос, а чего вы по русскому изданию не читаете? НИЦ РХД 2001 год, как раз перевод того 1995.

-- 16.02.2015 17:13:57 --

В Хелзене-Мартине, например, при переводе сделали забавную штуку: заменили всю Feynman slash нотацию на шапочки, как в Боголюбове-Ширкове. А в Пескине-Шрёдере не стали этого делать.

[IvanMazepa]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #979145 писал(а):

Простите за левый вопрос, а чего вы по русскому изданию не читаете? НИЦ РХД 2001 год, как раз перевод того 1995.

там, где я сейчас нахожусь, принято читать оригинал)) К тому же, в русских изданиях как всегда добавляют ошибки, а для оригинала авторы имеют собственную страничку с errata (кстати, найденных ошибок ОЧЕНЬ мало как для такой книги).

Munin в сообщении #979145 писал(а):

В Хелзене-Мартине, например, при переводе сделали забавную штуку: заменили всю Feynman slash нотацию на шапочки, как в Боголюбове-Ширкове. А в Пескине-Шрёдере не стали этого делать.

все-таки, надо признать что Feynman slash удобная и общепринятая нотация.

[Munin]

IvanMazepa в сообщении #979387 писал(а):

К тому же, в русских изданиях как всегда добавляют ошибки

Ну уж. Обычно пренебрежимо мало. Кстати, я видел, и как в переводе русской книги на английский были добавлены опечатки в формулах :-)

IvanMazepa в сообщении #979387 писал(а):

все-таки, надо признать что Feynman slash удобная и общепринятая нотация.

Да, к тому же она international. Но у нас была какая-то своя традиция, с "шапочками", и в общем, её терять тоже не обязательно. Хотя переделывать под неё перевод зарубежной книги - это всё-тки диковато.

-- 17.02.2015 00:31:34 --

P. S. "Шапочка" - жутко перегруженный символ. Она и нормированный вектор обозначает, и оператор в КМ, и вот ещё это... многовато на неё одну, не вынесет. К тому же, неудобно сверять формулы в разных книгах: пока доберёшься до всех соглашений о знаках и нотации, семь потов сойдёт. Универсальный, везде однообразно понимаемый символ лучше.

[IvanMazepa]

Добрался до четвертой главы. Застрял на странице 86: http://bookre.org/reader?file=565331&pg=85 (нажмите плюсик под номером страницы чтобы увеличить). Во-первых, я не очень ясно себе представляю как была получена формула чуть выше $\eqn{(4.27)}$. Ведь если выделить $n=0$ член из формулы чуть ниже $\eqn{(4.26)}$, то получим

$\displaystyle e^{-iHT} |0\rangle = e^{-iE_0T} |0\rangle \langle 0| 0\rangle + \sum_{n \neq 0} e^{-iE_nT} |n\rangle \langle n| 0\rangle$
а не
$\displaystyle e^{-iHT} |0\rangle = e^{-iE_0T} |\Omega\rangle \langle \Omega| 0\rangle + \sum_{n \neq 0} e^{-iE_nT} |n\rangle \langle n| 0\rangle$
как у них. Я понимаю, что вакуум $|\Omega\rangle$ в теории с взаимодействием перекрывается (overlap) с вакуумом $|0\rangle$ свободной теории. Я также понимаю, что член с $\Omega$ содержится "где-то там" под знаком суммы, но если его вытащить, то под сумой во втором члене следует писать не $n \neq 0$, а что-то другое, содержащее (условно говоря) $\neq \Omega$. Короче говоря, один непонятный момент.

Второй непонятный момент связан с отбрасыванием членов с $n \neq 0$, беря предел, при котором $T \to \infty(1-i\epsilon)$. Я понимаю, что в таком пределе члены, соответствующие все более высоким энергиям, будут все меньше и меньше. Непонятно почему мы можем оставить только один член $e^{-iE_0T} |\Omega\rangle \langle \Omega| 0\rangle $, откуда мы знаем что, скажем, следующий член в сумме с $E_1$ не сильно отличающейся от $E_0$ не даст вклад наравне с $e^{-iE_0T} |\Omega\rangle \langle \Omega| 0\rangle $?

Поверив на слово, я все же доспотыкался до самой главной формулы $\eqn{(4.31)}$, получив и проверив по дороге все кроме $\eqn{(4.29)}$. Сначала чтобы получить это уравнение я попытался внаглую применить операцию эрмитового сопряжения к $\eqn{(4.28)}$, но с ужасом понял что этого сделать (математически корректно) нельзя (?) из-за комплексного времени под знаком предела. Поэтому я попытался эрмитово спрячь это же злосчастное
$\displaystyle e^{-iHT} |0\rangle = e^{-iE_0T} |\Omega\rangle \langle \Omega| 0\rangle + \sum_{n \neq 0} e^{-iE_nT} |n\rangle \langle n| 0\rangle$
и далее взять предел, отбросить все члены с $n \neq 0$, в общем проделать все то же самое как и в случае с $\eqn{(4.28)}$. Но мне таким образом не удалось получить $\eqn{(4.29)}$. Пока выкладки приводить не буду, вдруг что-то выяснится. Но сама идея, по-моему, вполне логична, да?

-- 17.02.2015, 02:25 --

Кстати, как выясняется, это все имеет отношение к так называемой теореме Гелл-Манна--Лоу. Наверное, все-таки, стоит почитать соответствующую статью 1951-го года (но это опять придется возиться с непривычными обозначениями и т.д.)

[odelschwank]

IvanMazepa в сообщении #979481 писал(а):

Непонятно почему мы можем оставить только один член $e^{-iE_0T} |\Omega\rangle \langle \Omega| 0\rangle $

Просто делите то уравнение на $e^{-iE_0T} \langle \Omega| 0\rangle $, а потом убеждаетесь что при $n \ne 0$ экспоненты в таком пределе исчезают (действительная часть показателя стремится к $-\infty$).

IvanMazepa в сообщении #979481 писал(а):

Поэтому я попытался эрмитово спрячь это же злосчастное ... Но мне таким образом не удалось получить $\eqn{(4.29)}$

Попробуйте еще сделать в этом злосчастном замену $T \to -T$.

[Alex-Yu]

IvanMazepa в сообщении #979481 писал(а):

Я понимаю, что вакуум $|\Omega\rangle$ в теории с взаимодействием перекрывается (overlap) с вакуумом $|0\rangle$ свободной теории. Я также понимаю, что член с $\Omega$ содержится "где-то там" под знаком суммы, но если его вытащить, то под сумой во втором члене следует писать не $n \neq 0$, а что-то другое, содержащее (условно говоря) $\neq \Omega$. Короче говоря, один непонятный момент.

Ну тут просто не совсем (хотя почти) понятные обозначения. Под $|0\rangle$ понимается не "нижнее одетое" состояние (т.е. $|n\rangle$ при $n=0$), а вакуум теории без взаимодействия, "голый вакуум". Так что $|n=0\rangle$ --- это никак не $|0\rangle$ , а $|\Omega\rangle$ --- "одетый вакуум" (вакуум с взаимодействием). "По уму" надо было бы с самого начала обозначить "голый вакуум" как-нибудь иначе. Хотя и так понятно, если подумать. Привыкайте, в физической литературе такое сплошь и рядом: воспринимать формулы не следует слишком формально-прямолинейно.

[Munin]

Точнее, перед восприятием формулы надо прорыть носом весь предыдущий текст, чтобы запомнить все обозначения в конкретном источнике.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #979992 писал(а):

Точнее, перед восприятием формулы надо прорыть носом весь предыдущий текст, чтобы запомнить все обозначения в конкретном источнике.

При наличии определенного опыта не обязательно. Я вот не на столько помню Пескина и Шредера, чтобы знать что там за формула (4.27) или как ее там... Но по самой формуле сразу ясно, о чем речь. Но бывает, бывает, что замучаешься выяснять смысл буковок и закорючек. И даже при наличии опыта На эту тему есть юмористическая статья в сборнике "Физики шутят"

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #980019 писал(а):

При наличии определенного опыта не обязательно.

Где опыт включает в себя знакомство с разнообразием нотаций в разных источниках, чтобы сориентироваться по внешнему виду формулы.

[IvanMazepa]

В общем, разобрался я. Авторам действительно стоило бы быть осторожными с обозначениями.

Пусть $|n_I\rangle$ --- собственные состояния полного гамильтониана $H$, вакуум обозначим как $|0_I\rangle \equiv |\Omega\rangle$. Тогда разложив состояние вакуума в свободной теории $|0\rangle$ по собственным состояниям теории со взаимодействием, получим
$\displaystyle |0\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} |n_I\rangle \langle n_I|0\rangle = |\Omega\rangle \langle \Omega|0\rangle + \sum_{n \neq 0}^{\infty} |n_I\rangle \langle n_I|0\rangle$
Дальше действуем на обе части уравнения $e^{-iH(T+t_0)}$, причем $t_0$ здесь время, при котором все картины (шредингеровская, гейзенберовская и картина взаимодействия) совпадают. Это, кстати, важно и снова не оговаривается в учебнике. Дальше переходим к пределу $T \to \infty(1-i\epsilon)$, отбрасываем все $n \neq 0$ и получаем выражение для $|\Omega \rangle$ как в (4.28). Чтобы получить $\langle \Omega|$ как в (4.29), нужно воспользоваться $e^{iH(T-t_0)}|\Omega\rangle = e^{iE(T-t_0)}|\Omega\rangle$.

Пошел читать дальше. Всем отписавшимся спасибо.