Ограниченность аналитической функции

[Asalex]

Уважаемые форумчане!

Пусть у нас есть замкнутый контур $C$ ограничивающий область $D$ в комплексной плоскости переменной $k$, и мы рассматриваем аналитические функции $f(k;t)$ внутри $D$, непрерывные вплоть до границы, зависящие от параметра $t$.

Пусть $\|f(.;t)\|_{L_2(C)}<K,$ с константой $K$ не зависящей от $t$. Что можно сказать о $\max\limits_{k\in C}|f(k;t)|?$ Можно ли его оценить так, чтобы эта оценка не зависела от $t$, либо можно найти такую последовательность $f(k;t)$, что максимум модуля будет неограниченно расти?


1) Я попробовал посмотреть на формулу Коши
\begin{equation}\label{formula_Cauchy}f(k)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C}\frac{f(s) ds}{s-k}.\end{equation}
Вблизи контура, однако, из этой формулы оценку на $|f(z)|$ вывести нельзя, поскольку интеграл становится сингулярным.

Возьмем предел когда точка $k$ стремится к точке $z$ на границе. Тогда

$$f(z)=\frac12f(z)+\frac{1}{2\pi i}v.p.\int\limits_{C}\frac{f(s) ds}{s-z},$$

и

$$f(z)=\frac{1}{\pi i}v.p.\int\limits_{C}\frac{f(s) ds}{s-z}=(Hf)(z).$$

Справа стоит преобразование Гильберта функции из $L_2(C)$. Ввиду ограниченности преобразования Гильберта в классе $L_2(C)\to L_2(C)$, норма этого выражения в классе $L^2(C)$оценивается нормой $\|f\|_{L_2(C)},$ но похоже что это ничего не дает для модуля $|f(z)|.$

2) Рассмотрим частный случай когда $C$ -- это едининая окружность, а $D$ - внутренность единичного круга. В этом случае функцию $f(k;t)$ можно представить как
$f(k;t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}c_j(t)z^j.$
Для равномерной нормы и для нормы $L_2$ имеем

$$\|f(.,t)\|_{L^{\infty}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|,\qquad \|f(.,t)\|_{L^{2}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|^2.$$

Может ли быть так, что

$$\|f(.,t)\|_{L^{2}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|^2<K,\qquad \|f\|_{L^{\infty}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|\to\infty \textrm{ при } t\to\infty?$$

3) (Как переписать формулу (1) в виде НЕсингулярного интеграла? Например для верхней полуплоскости это будет интеграл Фурье по положительной полуоси от обратного преобразования Фурье. А для круга?)






P.S. Надо было написать чтобы понять что конечно равномерной ограниченности в такой общей постановке не будет. Например, рассматриваем такую последовательность коэффициентов:

$$t=1:\quad c(1)={1,0,0,...},$$

$$t=2:\quad c(2)={1,\frac12,0,...},$$

$$\cdot$$

$$t=N:\quad c(N)={1,\frac12,\cdot,\frac1N,\cdot},$$

$$\cdot$$

[ewert]

$\ln(k+it), \ \operatorname{Im}k\geqslant0$

[Padawan]

Возьмите любую последовательность положительных гладких функций $f_n$ на контуре $C$, так, чтобы их нормы в $L^2$ были ограничены, а супремум-нормы стремились к бесконечности. По функциям $\ln f_n$ восстановите аналитические непрерывные вплоть до границы функции $g_n$, действительная часть которых на $C$ совпадает с $\ln f_n$. Тогда функции $F_n=e^{g_n}$ будут аналитическими непрерывными вплоть до границы, и на $C$ будет $|F_n|=f_n$

Короче, для любой (гладкой) положительной функции на границе найдется аналитическая непрерывная в замкнутой области функция, модуль которой на границе совпадает с заданной функцией.

[Asalex]

Уважаемые ewert и Padawan,
спасибо большое за Ваши ответы.

Я не совсем понял пример

ewert в сообщении #978135 писал(а):

$\ln(k+it), \ \operatorname{Im}k\geqslant0$

Тут же нет равномерной ограниченности в $L_2:$
Имеем

$$\ln(k+i t)=\ln(k_1+i (k_2+t))=\frac12\ln(k_1^2+(k_2+t)^2)+i \arg(k_1+i(k_2+t)),$$

где $k_1=\operatorname{Re} k, k_2=\operatorname{Im} k,$
Тогда для модулей получаем $$|\ln(k_1+i(k_2+t))|^2=\frac14\ln^2(k_1^2+(k_2+t)^2)+\arg^2(k_1+i(k_2+t)),$
и поскольку $\arg z\in(0,2\pi),$$ то
$|\ln(k_1+i(k_2+t))|^2\geq\frac14\ln^2(k_1^2+(k_2+t)^2).$
Теперь конечно нужно уточнить контур. Вещественная прямая не подходит, так как выражение не интегрируемо. Но даже если взять какой-то конечный контур, то видно что функция не будет равномерно ограниченной в $L_2$ по параметру $t$.

[ewert]

Asalex в сообщении #979077 писал(а):

где $k_1=\operatorname{Re} k, k_2=\operatorname{Im} k,$

Вы что-то совершенно ненужное пишете. Интеграл же нужен по границе, т.е. по вещественной оси (естественно, по её отрезку вокруг нуля), а там $\ln(k+it)=\frac12\ln(k^2+t^2)+i\arg(k+it)$. Второе слагаемое просто ограничено, а логарифм в любой степени прекрасно интегрируется даже при предельном значении параметра $t=0$.

Не нравятся логарифмы -- возьмите просто функции $\frac1{k+it}$, для которых всё считается явно. У них, правда, нормы не ограничены, однако растут при $t\to0$ гораздо медленнее, чем максимумы модуля.

[Vince Diesel]

Конкретный пример по уже сказанному: $f_n(z)=\sum_{k=1}^n \frac{z^k}k$. Норма в $L_2$ равномерно ограничена, поскольку $f_n$ мажорируется функцией $\ln(1-|z|)$. А последовательность $f_n(1)$ неограниченно растет.

[Asalex]

Уважаемые ewert и Vince Diesel,

Спасибо.