О числе классов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

Я использовал сомнительную функцию 'kash' в коде для того, чтобы "Sage" вычислил 'sqrt'.
Это делается по другому:

mypi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286;
n=5;
F.<a>=NumberField((x^n-1)/(x-1));
K.<v>=NumberField(x^n-2);
T.<b>=F.extension(x^n-2);
L=T.absolute_field('c');
RegF=F.regulator();
ClnF=F.class_number();
DF=F.discriminant();
RegL=L.regulator();
ClnL=L.class_number();
DL=L.discriminant();
RegK=K.regulator();
ClnK=K.class_number();
DK=K.discriminant();
RightPartF=(2*mypi)^((n-1)/2)*RegF*ClnF/(abs(DF).sqrt(prec=200)*2*n); RightPartF
RightPartL=(2*mypi)^(n*(n-1)/2)*RegL*ClnL/(abs(DL).sqrt(prec=200)*2*n); RightPartL
RightPartK=(2*mypi)^((n-1)/2)*RegK*ClnK/(abs(DK).sqrt(prec=200)); RightPartK
RightPartK/RightPartF
(RightPartK/RightPartF)^(n-1)
RightPartL/RightPartF^n

Теперь совпадение полное, но в результате не так много цифр:

39.8086629704626
39.8086629704626

-- Чт дек 11, 2014 01:48:56 --

Я полагаю, что обе доказанные теоремы достоверны.

[Феликс Шмидель]

Поставим теперь другую цель, на мой взгляд вполне достижимую: найти соотношение между дзета фунцкией поля $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$ и поля $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}, \sqrt[n]{2}]$.
Поле $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$ играет большую роль в рассуждениях Куммера.
Если кто-нибудь знает, как разлагаются простые числа в произведение простых идеалов этого поля, пожалуйста, дайте ссылку.

[Феликс Шмидель]

Я не нашёл ссылки на свойства этого поля. Придётся устанавливать их самому.

Для начала найдём дифференту и дискриминант поля $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$.

Пусть $K=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}], L=\mathbb{Q}[i_n]$.
Известно, что кольцом целых алгебраических чисел поля $L$ является кольцо $G_L=\mathbb{Z}[i_n]$, вследствие чего дифферента $D_{L/\mathbb{Q}}=f'(i_n) G_L=n \frac{i_n^{n-1}}{i_n-1} G_L=n/(i_n-1) G_L$, и дискриминант $\Delta_L=(-1)^{(n-1)(n-2)/2} n^{n-1}/n=(-1)^{(n-1)/2} n^{n-2}$, где $f(x)=1+x+...+x^{n-1}$ - минимальный полином числа $i_n$.

Найдём относительную дифференту $D_{L/K}$.
Поле $L$ является квадратичным расширением поля $K$, а именно $L=K(\sqrt{\beta})$, где $\beta=(i_n+i_n^{-1})^2-4=(i_n-i_n^{-1})^2$.
Значит $2 \sqrt{\beta}$ делится на дифференту $D_{L/K}$.
Поскольку $D_{L/Q}=n/(i_n-1) G_L$ делится на $D_{L/K}$, то $\sqrt{\beta}$ делится на $D_{L/K}$. Cледовательно $D_{L/K}=(i_n-1) G_L$, поскольку $\sqrt{\beta} G_L=(i_n-i_n^{-1}) G_L=(i_n^2-1) G_L=(i_n-1) G_L$, и $(i_n-1) G_L$ - простой идеал кольца $G_L$.

Теперь найдём дифференту $D_{K/\mathbb{Q}}$.
Поскольку $D_{L/\mathbb{Q}}=D_{L/K} D_{K/\mathbb{Q}}$, то $D_{K/\mathbb{Q}} G_L=n/(i_n-1)^2 G_L=n/((i_n-1)(i_n^{-1}-1)) G_L$.
Следовательно, $D_{K/\mathbb{Q}}=n/((i_n-1)(i_n^{-1}-1)) G_K$.

Дискриминант $\Delta_{K/\mathbb{Q}}=N_{K/\mathbb{Q}}(D_{K/\mathbb{Q}})=n^{(n-1)/2}/n \mathbb{Z}=n^{(n-3)/2} \mathbb{Z}$
Мы нашли дискриминант расширения $K/\mathbb{Q}$, который является идеалом, равным $\Delta_K \mathbb{Z}$, где $\Delta_K$ - дискриминант поля $K$.
Значит $\Delta_K=n^{(n-3)/2}$ или $-n^{(n-3)/2}$.
Мне неважно какому именно из этих двух значений равен дискриминант поля $K$, и я не буду это определять.

Проверим найденное значение дискриминанта в программе "Sage".
Сначала найдём минимальные полиномы числа $i_n+i_n^{-1}$ для $n=5, 7, 11$:

n=5;
L.<a>=NumberField((x^n-1)/(x-1));
L.subfields()

Получим: $x^2 + x - 1, x^3 + x^2 - 2 x - 1, x^5 + x^4 - 4 x^3 - 3 x^2 + 3 x + 1$.
Теперь вычислим дискриминанты поля $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$ для $n=5, 7, 11$:

n=5;
K.<a>=NumberField(x^2 + x - 1);
K.discriminant()
n=7;
K.<a>=NumberField(x^3 + x^2 - 2*x - 1);
K.discriminant()
n=11;
K.<a>=NumberField(x^5 + x^4 - 4*x^3 - 3*x^2 + 3*x + 1);
K.discriminant()

Получим:
$5$
$49$
$14641$

Полученные значения подтверждают формулу $\Delta_K=n^{(n-3)/2}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Установим теперь законы разложения простых чисел в произведение простых идеалов поля $K=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$. Пусть $L=\mathbb{Q}[i_n]$.

Пусть $p$ - простое число.

Если $p=n$, то $n G_K=((i_n-1)(i_n^{-1}-1))^{(n-1)/2} G_K$.
В самом деле $n=a_1...a_{(n-1)/2}$, где $a_k=(i_n^k-1)(i_n^{-k}-1)$ для $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.
Поскольку числа $a_1, ..., a_{(n-1)/2}$ ассоциированы, то число $n$ ассоциировано с числом $a_1^{(n-1)/2}$.

Пусть теперь $p \ne 2, n$ и $p-1$ делится на $n$.
Тогда $p$ разлагается в произведение $(n-1)/2$ различных простых идеалов поля $K$,
поскольку $p$ разлагается в произведение $n-1$ различных простых идеалов поля $L$.

Пусть теперь $p \ne 2, n$ и $p-1$ не делится на $n$.
Пусть $p=P_1...P_g$, где $P_1, ..., P_g$ - различные простые идеалы поля $K$.
Согласно теореме 118 на стр. 153 книги Гекке "Лекции по теории алгебраических чисел", каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$, если сравнение $x^2 \equiv \beta$ по модулю идеала $P_i$ не имеет решений в кольце $G_K$, где $\beta=(i_n-i_n^{-1})^2$.
Если же это сравнение имеет решения, то идеал $P_i G_L$ разлагается в произведение двух простых идеалов поля $L$.
Пусть $\rho_i$ какой-либо простой идеал поля $L$, на который делится идеал $P_i G_L$.
Предположим, что $x^2 \equiv \beta$ по модулю идеала $P_i$ для некоторого $x \in G_K$.
Тогда $\pm x \equiv i_n-i_n^{-1}$ по модулю идеала $\rho_i$.
Следовательно $i_n \equiv (1/2) (\pm x+(i_n+i_n^{-1}))$ по модулю идеала $\rho_i$.
Пусть $x_1 \equiv (1/2) (\pm x+(i_n+i_n^{-1}))$ по модулю идеала $P_i$, где $x_1 \in G_K$.
Тогда $(x_1-i_n)(x_1-i_n^{-1})$ делится на идеал $P_i$.
Следовательно $1+x_1+...+x_1^{n-1}$ делится на $p$.
Имеем: $x_1^{p^{(n-1)/2}-1} \equiv 1$ по модулю $p$ в кольце $G_K$ согласно малой теореме Ферма для идеалов.
Есть две возможности $p^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$ и $p^{(n-1)/2} \equiv -1$ по модулю $n$.
Во втором случае, сравнение $1+x_1+...+x_1^{n-1}$ невозможно, поэтому каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$.
По другому не может быть если $p^{(n-1)/2} \equiv -1$ по модулю $n$ также поскольку $p$ разлагается в произведение $(n-1)/m$ простых идеалов поля $L$, и $(n-1)/m$ - нечётное число, поскольку $(n-1)/2$ не делится на $m$ (где $m$ - наименьшее целое положительное число, для которого $p^m \equiv 1$ по модулю $n$).
Если же $p^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$ (в этом случае $(n-1)/m$ - чётное число, поскольку $(n-1)/2$ делится на $m$) то сравнение $1+x_1+...+x_1^{n-1} \equiv 0$ по модулю $p$ может иметь или не иметь решений в кольце $G_K$ ($x_1 \in G_K$).
Значит если $p^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$, то либо каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$, либо разлагается в произведение двух различных простых идеалов поля $L$.
Мы пока не установили при каких условиях относительно $p$ имеет место первый случай и при каких - второй.

Пусть теперь $p=2$.
Пусть $2=P_1...P_g$, где $P_1, ..., P_g$ - различные простые идеалы поля $K$.
Согласно теореме 119 на стр. 155 книги Гекке "Лекции по теории алгебраических чисел", каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$, если сравнение $x^2 \equiv \beta$ по модулю идеала $P_i^3$ не имеет решений в кольце $G_K$, где $\beta=(i_n-i_n^{-1})^2$.
Если же это сравнение имеет решения, то идеал $P_i G_L$ разлагается в произведение двух простых идеалов поля $L$.
Заметим, что сравнение $x^2 \equiv \beta$ по модулю идеала $P_i^2$, которое упоминается в теореме, имеет решение $x=i_n+i_n^{-1}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Есть ошибка:

Цитата:

Имеем: $x_1^{p^{(n-1)/2}-1} \equiv 1$ по модулю $p$ в кольце $G_K$ согласно малой теореме Ферма для идеалов.

Малая теорема Ферма для идеалов неприменима, так как $p G_K$ не простой идеал.
Но это поправимо: $x_1^{p^{(n-1)/(2 g)}-1} \equiv 1$ по модулю $p$ в кольце $G_K$, так как это сравнение выполняется по модулю идеалов $P_1, ..., P_g$, в силу малой теоремы Ферма для идеалов.
Следовательно, $x_1^{p^{(n-1)/2}-1} \equiv 1$ по модулю $p$.

Я заметил ещё одну неточность:

Цитата:

Во втором случае, сравнение $1+x_1+...+x_1^{n-1}$ невозможно, поэтому каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$.

Должно быть:

Цитата:

Во втором случае, сравнение $1+x_1+...+x_1^{n-1} \equiv 0$ по модулю $p$ невозможно, поэтому каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$.

Продолжаем рассмотрение случая $p=2$.
Пусть $\rho_i$ какой-либо простой идеал поля $L$, на который делится идеал $P_i G_L$.
Предположим, что $x^2 \equiv \beta$ по модулю идеала $P_i^3$ для некоторого $x \in G_K$.
Тогда $\pm x \equiv i_n-i_n^{-1}$ по модулю идеала $\rho_i^2$.
Следовательно $2 i_n \equiv \pm x+(i_n+i_n^{-1})$ по модулю идеала $\rho_i^2$.
Пусть $x_1=\pm x+(i_n+i_n^{-1})$.
Тогда $2 i_n \equiv x_1$ по модулю идеала $\rho_i^2$.
Следовательно $(x_1-2 i_n)(x_1-2 i_n^{-1})$ делится на идеал $P_i^3$.
Следовательно $x_1^{n-1}+2 x_1^{n-2}+4 x_1^{n-3}+...+2^{n-1}=(x_1^n-2^n)/(x_1-2)$ делится на $8$.
Следовательно, $x_1^{n-1}$ делится на $2$.
Следовательно, $x_1$ делится на простые идеалы $P_1, ..., P_g$, и значит на их произведение.
Значит $x_1$ делится на $2$.
Пусть $x_1=2 x_2$.
Тогда $i_n \equiv x_2$ по модулю идеала $\rho_i$, поскольку $2 i_n \equiv x_1$ по модулю идеала $\rho_i^2$.
Следовательно $(x_2-i_n)(x_2-i_n^{-1})$ делится на идеал $P_i$.
Следовательно $1+x_2+...+x_2^{n-1}$ делится на $2$.
Имеем: $x_2^{2^{(n-1)/(2 g)}-1} \equiv 1$ по модулю $2$ в кольце $G_K$, так как это сравнение выполняется по модулю идеалов $P_1, ..., P_g$, в силу малой теоремы Ферма для идеалов.
Следовательно, $x_2^{2^{(n-1)/2}-1} \equiv 1$ по модулю $2$.
Есть две возможности $2^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$ и $2^{(n-1)/2} \equiv -1$ по модулю $n$.
Во втором случае, сравнение $1+x_2+...+x_2^{n-1} \equiv 0$ по модулю $2$ невозможно, поэтому каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$.
По другому не может быть если $2^{(n-1)/2} \equiv -1$ по модулю $n$, также поскольку $2$ разлагается в произведение $(n-1)/m$ простых идеалов поля $L$, и $(n-1)/m$ - нечётное число, поскольку $(n-1)/2$ не делится на $m$ (где $m$ - наименьшее целое положительное число, для которого $2^m \equiv 1$ по модулю $n$).
Если же $2^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$ (в этом случае $(n-1)/m$ - чётное число, поскольку $(n-1)/2$ делится на $m$) то сравнение $1+x_2+...+x_2^{n-1} \equiv 0$ по модулю $2$ может иметь или не иметь решений в кольце $G_K$ ($x_2 \in G_K$).
Значит если $2^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$, то либо каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$, либо разлагается в произведение двух различных простых идеалов поля $L$.
Мы пока не установили при каких условиях имеет место первый случай и при каких - второй.

[Феликс Шмидель]

Теорема 3
---------------

Пусть $F=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}], L=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}, \sqrt[n]{2}]$, где $n$ - простое число, не равное $2$ (мы не указали это в теореме 2, а следовало бы).

Пусть $p_1, p_2, ...$ - все простые числа по модулю который $\sqrt[n]{2}$ не существует, то есть нет такого вычета $x$, что $x^n \equiv 2$ по модулю $p_i$, где $i=1, 2, ...$.

Пусть $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}..., B=\frac{1}{1-p_1^{-s n}}\frac{1}{1-p_2^{-s n}}...$.

Пусть $m_2$ - наименьшее целое положительное число, для которого $2^{m_2} \equiv 1$ по модулю $n$.
Пусть $C_2=1/(\frac{1}{1-2^{-s m_2/2}})^{(n-1)/m_2}$, если $2$ разлагается в произведение $(n-1)/m_2$ простых идеалов поля $F$.
Пусть $C_2=1/(\frac{1}{1-2^{-s m_2}})^{(n-1)/(2 m_2)}$, если $2$ разлагается в произведение $(n-1)/(2 m_2)$ простых идеалов поля $F$.
Пусть $C=(1-n^{-s}) C_2$, если $2^n \not \equiv 2$ по модулю $n^2$, и $C=C_2$, если $2^n \equiv 2$ по модулю $n^2$.

Тогда

(4) $\zeta_L (s)=(\zeta_F (s))^n C^{n-1} (B/A^n)^{(n-1)/2}$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Множитель $(B/A^n)^{(n-1)/2}$ получается из рассмотрения случая простых чисел $p \equiv 1$ по модулю $n$, для которых $\sqrt[n]{2}$ не существует по модулю $p$.
Поскольку такое простое число $p$ разлагается в поле $F$ в произведение $(n-1)/2$ различных простых идеалов c нормой $p$, то в произведение дзета-функции Дедекинда поля $F$ входит множитетель $A^{(n-1)/2}$.
Эти простые идеалы остаются простыми в поле $L$ c нормой $p^n$, поэтому в произведение дзета-функции Дедекинда поля $L$ входит множитетель $B^{(n-1)/2}$.
Множитель $(B/A^n)^{(n-1)/2}$ входит в равенство (4), поскольку $B^{(n-1)/2}=(A^{(n-1)/2})^n (B/A^n)^{(n-1)/2}$.

Всё хорошо, но умножая равенство (4) на $(s-1)$ и переходя к пределу при $s \to 1$ в правой части равенства (4) получается противоречие, поскольку мы знаем что существует предел $\lim_{s \to 1} \sqrt[n]{s-1} A$.

До разрешения этого противоречия, теорема 3 остаётся под сомнением.

[Феликс Шмидель]

Я кажется понял причину противоречия.
Пусть $F=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}], L=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}, \sqrt[n]{2}]$.
Поле $L$ не является нормальным, и простые идеалы поля $F$ не обязательно разлагаются в произведение $1$-го или $n$ простых идеалов поля $L$.
Значит, теорема 3 неверна.
Наверное проще найти соотношение между дзета-фунцкциями Дедекинда полей $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$ и $\mathbb{Q}[i_n]$, а также полей $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}, \sqrt[n]{2}]$ и $\mathbb{Q}[i_n, \sqrt[n]{2}]$.
Тем более, что соотношение между регуляторами первой пары полей известно, и может быть существует соотношение между регуляторами второй пары полей.

[Феликс Шмидель]

Кроме этого, в рассуждениях перед формулировкой теоремы 3 есть ошибка.

Цитата:

Пусть $x_1 \equiv (1/2) (\pm x+(i_n+i_n^{-1}))$ по модулю идеала $P_i$, где $x_1 \in G_K$.
Тогда $(x_1-i_n)(x_1-i_n^{-1})$ делится на идеал $P_i$.
Следовательно $1+x_1+...+x_1^{n-1}$ делится на $p$.

Следствие $1+x_1+...+x_1^{n-1}$ делится на $p$ кажется мне ошибочным.
В самом деле, при замене $i_n+i_n^{-1}$ на $i_n^m+i_n^{-m}$ в выражении $(x_1-i_n)(x_1-i_n^{-1})$ число $x_1$ не остаётся неизменным.
Поэтому наши рассуждения о разложении простых чисел в произведение простых идеалов поля $K=\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$ ошибочны.

[Феликс Шмидель]

Эта ошибка поправима, поскольку $1+x_1+...+x_1^{n-1}$ делится на идеал $P_i$.
Имеем: $x_1^{p^{(n-1)/(2 g)}-1} \equiv 1$ по модулю идеала $P_i$ в кольце $G_K$ согласно малой теореме Ферма для идеалов.
Верно и более сильное утверждение, но теперь оно нам не нужно: $x_1^{p^{(n-1)/(2 g)}-1} \equiv 1$ по модулю $p$ в кольце $G_K$, так как это сравнение выполняется по модулю идеалов $P_1, ..., P_g$, в силу малой теоремы Ферма для идеалов.
Дальнейшие рассуждения остаются почти без изменений:

Цитата:

Есть две возможности $p^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$ и $p^{(n-1)/2} \equiv -1$ по модулю $n$.
Во втором случае, сравнение $1+x_1+...+x_1^{n-1} \equiv 0$ по модулю идеала $P_i$ невозможно, поэтому каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$.
По другому не может быть (если $p^{(n-1)/2} \equiv -1$ по модулю $n$) также поскольку $p$ разлагается в произведение $(n-1)/m$ простых идеалов поля $L$, и $(n-1)/m$ - нечётное число, поскольку $(n-1)/2$ не делится на $m$ (где $m$ - наименьшее целое положительное число, для которого $p^m \equiv 1$ по модулю $n$).
Если же $p^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$ (в этом случае $(n-1)/m$ - чётное число, поскольку $(n-1)/2$ делится на $m$) то сравнение $1+x_1+...+x_1^{n-1} \equiv 0$ по модулю $p$ может иметь или не иметь решений в кольце $G_K$ ($x_1 \in G_K$).
Значит если $p^{(n-1)/2} \equiv 1$ по модулю $n$, то либо каждый идеал $P_i G_L$ является простым в поле $L$, либо разлагается в произведение двух различных простых идеалов поля $L$.
Мы пока не установили при каких условиях относительно $p$ имеет место первый случай и при каких - второй.

Это так для $p \ne 2, n$.
Как исправить рассуждения для $p=2$ пока неясно.

[Феликс Шмидель]

Заметим, что число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}]$ равно 1 для $n \le 241$, кроме $n=163, 191, 229$ (Miller, "Real cyclotomic fields of prime conductor and their class numbers"). Для бОльших $n$ число классов может отличаться от $1$.
Это ставит под сомнение нашу гипотезу, что число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равно $1$ для всех простых $n$.
Ведь мы проверили эту гипотезу только для простых $n<100$.