Интегрирование параметрической функции

[Vince Diesel]

Слева одномерный. Справа какая-то его параметризация. Видимо, надо определять размерность дельта функции так: если интегрирование идет по $n$-мерному объему, а носитель дельта-функции имеет размерность $k$, то $[\delta]=\text{м}^{k-n}$. Если носитель дельта-функци - точка, то получится $\text{м}^{-n}$, а вообще нет.

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #977321 писал(а):

Слева одномерный. Справа какая-то его параметризация. Видимо, надо определять размерность дельта функции так: если интегрирование идет по $n$-мерному объему, а носитель дельта-функции имеет размерность $k$, то $[\delta]=\text{м}^{k-n}$. Если носитель дельта-функци - точка, то получится $\text{м}^{-n}$, а вообще нет.

если считать слева интеграл одномерным, то все правильно.
Вы пишете , что решение интеграла $I = {\left| {\int {{d^3}} {\text{s}}\delta \left( {{\text{s}} - {\text{S}}\left( t \right)} \right){\text{X}}\left( {\text{s}} \right)} \right|^2}$ является $|\int_\Gamma X\,dl|^2$ .
Я говорю о том, что решением трехмерного интеграла должен быть трехмерный же интеграл.
То есть интеграла по $dl$ должен осуществляться переход к параметрическому виду в соответствии с размерностью пространства, скажем так. для одномерного случая , $\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$ , все отлично. спрашивается, как быть с трехмерным?

[Vince Diesel]

Как написано выше. В данном случае $n=3$, размерность кривой $k=1$. Чтобы было согласование, надо считать, что размерность дельта-функции с носителем на кривой равна $\text{м}^{-2}$.

[matthewmatt]

Vince Diesel в сообщении #977718 писал(а):

Как написано выше. В данном случае $n=3$, размерность кривой $k=1$. Чтобы было согласование, надо считать, что размерность дельта-функции с носителем на кривой равна $\text{м}^{-2}$.

размерность пространственной кривой никак не может быть 1.
выбор размерности дельта-функции идет изначально из размерности пространства.
Вы же находите ответ на вопрос, притягивая вопрос под ответ.
У нас в дельта-функции - векторы. Это уже никак не может быть размерностью 1.

[Vince Diesel]

matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):

размерность пространственной кривой никак не может быть 1.

Размерность гладкой кривой равна елинице. Вот это

matthewmatt в сообщении #977654 писал(а):

$\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$

не интеграл по одномерной кривой?

matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):

выбор размерности дельта-функции идет изначально из размерности пространства.

Ну, если так считать, то и будут противоречия с размерностью.

matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):

Вы же находите ответ на вопрос, притягивая вопрос под ответ.

Не вопрос под ответ, а как изменить подсчеты, чтобы получить нужный вам ответ. А иначе вы берете какую-то фиксированную размерность дельта-функции, а потом спрашиваете, почему размерность не сходится. С чего вы тогда считаете, что размерность должна сойтись?

matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):

У нас в дельта-функции - векторы. Это уже никак не может быть размерностью 1.

Что "это", аргумент имеет три компоненты? Вот возьмем кривую $X(t)=(t,t,0)$. Это будет координатная ось $Ox_3$. Она одномерная или нет? Дельта функция с этим носителем будет иметь вид $\delta(x-X(t))=\delta(x_1)\delta(x_2)1(x_3)$ и?...

Вот кстати, наглядная иллюстрация, что если для функции одной переменной $[\delta]=\text{м}^{-1}$, то для кривой в $\mathbb R^3$ надо считать $[\delta]=\text{м}^{-2}$, если хотеть, чтобы интеграл по объему выдавал нужную размерность.