О множестве непересекающихся множеств в ZF(C)

[AGu]

alex_dorin в сообщении #976453 писал(а):

Дальнейшей проверкой я установил, что присоединение указанной аксиомы к ZF(C) делает
ее опровержимой на конечной модели, даже когда не используется аксиома подстановки.

Я не вижу смысла в сказанном. Доказуемость и опровержимость имеют смысл в рамках теории, а не модели. А в рамках модели определяются истинность и ложность, причем при проверке истинности аксиомы теории вообще никак не задействуются.

[alex_dorin]

AGu :
"А в рамках модели определяются истинность и ложность, причем при проверке истинности аксиомы теории вообще никак не задействуются."
Для доказательства несовместимости аксиом теории по крайней мере достаточно найти конечную модель на которой эти аксиомы опровержимы.
Детально это изложено в Клини "Математическая логика" и др. - табличные методы. Восходит это из основных работ Генцена.
Никакой непроходимой разницы между аксиомами теории и ее гипотезами нет в принципе.

[Lia]

alex_dorin
Для корректного цитирования пользуйтесь кнопками "Цитата" или "Вставка". Набор ника при обращении можно упростить, кликнув мышью на никнейм адресата над его аватарой.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #977003 писал(а):

Для доказательства несовместимости аксиом теории по крайней мере достаточно найти конечную модель на которой эти аксиомы опровержимы.

Вы либо используете нетрадиционные термины, либо скрываете существенные детали, либо, как мне кажется, делаете и то, и другое. Из-за этого Ваши сообщения выглядят бессмысленными.

Во-первых, термин «опровержимо в модели» устарел (особенно применительно к формулам без свободных переменных). Лучше говорить «ложно в модели», тогда Вас поймут больше участников.

Во-вторых, о конечной модели какой теории идет речь? Теория ZF не имеет конечных моделей. Вероятно, речь идет о «модели сигнатуры». Это всегда стоит уточнять, иначе будут возникать недоразумения.

В-третьих, из существования модели сигнатуры, в которой ложны какие-то аксиомы теории, не следует несовместность теории. (Теория будет несовместна, если в любой модели сигнатуры ложна хотя бы одна из аксиом этой теории.) Вероятно, Вы умолчали о каких-то важных деталях.

[alex_dorin]

О терминологии :
Клини в "Математическая логика" пишет о построении области в которой предложения логики
первого порядка опровержимы. Я нашел конечную область на которой указанные предложения - система аксиом - не общезначима.
Здесь - только предложения, не содержащих свободных (не связанных кванторами) переменных.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #977191 писал(а):

Я нашел конечную область на которой указанные предложения - система аксиом - не общезначима.

Иными словами, Вы нашли некоторую конечную алгебраическую систему $M$, в которой некоторые (или все) аксиомы рассматриваемой теории $T$ ложны. (Надеюсь, я Вас правильно понял.) Так вот, из этого факта невозможно сделать вывод о несовместности теории $T$. Единственный полезный в этом направлении вывод, который можно сделать из Вашей находки, состоит в следующем: из тех аксиом, которые являются истинными в $M$, не выводятся аксиомы, которые в $M$ ложны. Т.е. можно что-то заключить о независимости одних аксиом теории $T$ от других, не более того.

[alex_dorin]

Я нашел область конечной мощности, на которой предложение, полученное конъюнкцией аксиом, не общезначимо.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #977206 писал(а):

Я нашел область конечной мощности, на которой предложение, полученное конъюнкцией аксиом, не общезначимо.

Поздравляю. Но, к сожалению, это никак не приближает Вас к ответу на вопрос о противоречивости (несовместности) какой бы то ни было теории.

Видите ли в чем дело, наличие такой области почти ничего не говорит о теории. И такую область очень легко найти для любой нетривиальной теории. Например, если в теории доказуемо существование двух разных объектов, то в качестве искомой области (в которой не истинны все аксиомы теории) можно взять любую одноэлементную область.

[alex_dorin]

Если даже для усеченной и модифицированной ZF(C) есть такая область, то это и означает , что эта новая теория множеств противоречива.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #977214 писал(а):

Если даже для усеченной и модифицированной ZF(C) есть такая область, то это и означает , что эта новая теория множеств противоречива.

Вы ошибаетесь. (Разъяснения приведены выше.)

P.S. Либо под словом «противоречива» Вы вновь понимаете что-то очень нетрадиционное.