Разность счётных множеств

[atlakatl]

В закрытом ныне topic93180.html "Догонит ли черепаха Ахиллеса?" я сказал:

Цитата:

Есть два счётных множества. Между ними всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие. Значит, их разность равна нулю.

И привёл пример:

Цитата:

Есть множества $N=1, 2, 3, 4, ...$ и $2N=2, 4, 6, 8, ...$. Вычитаем одно из другого в любом порядке, получая ноль.
$1 - 2$
$2 - 4$
$3 - 6$
$4 - 8...$
или наоборот:
$2 - 1$
$4 - 2$
$6 - 3$
$8 - 4...$

На что arseniiv возразил:

Цитата:

вы предлагали вычитать «в любом порядке»! И мы можем взять другую функцию $f\colon\mathbb N\to 2\mathbb N$ (или наборот), которая отобразит первое уже в собственное подмножество второго, и в остатке $2\mathbb N\setminus f(\mathbb N)$ может получиться и конечное, и счётное число элементов. Если конечное — то совершенно из любых элементов на наш выбор, кстати.

Я попросил:

Цитата:

Приведите пример $f\colon\mathbb N\to 2\mathbb N$ , в котором после вычитания остаются элементы. - Как это сделал я: $1 - 2...$

arseniiv:

Цитата:

Учетверение... Ну так что с учетверением? $f(n) = 4n$, $2\mathbb N\setminus f(\mathbb N) = 4\mathbb N+2\ne\varnothing.$

Затем тему закрыли, и мой вопрос остался - для меня, конечно, - не выясненным.
Прошу специалистов раскрыть смысл "учетверения" на понятных мне примерах и образах.

[Nemiroff]

Никто не знает, что такое "вычитание по atlakatl". Если не знаете про инъекции и биекции, Википедия в помощь. Или поиск по форуму. Уже было, не раз и даже не два.

[melnikoff]

А что ту не понятно? Легко доказать что объединение двух непересекающихся счетных множеств есть счетное множество. То есть, если Вы из нового множества вычтите любое из двух первоначальных, то у Вас все равно останется счетное множество.

[12d3]

atlakatl в сообщении #976832 писал(а):

Есть два счётных множества. Между ними всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие. Значит, их разность равна нулю.

Неправильно. По определению $A \backslash B = \{a:a\in A \wedge a \notin B\}$. То, что вы хотите назвать вычитанием, это $A\backslash f(B)$, где $f$ - биекция. Результат такого "вычитания", конечно же, зависит $f$. А также $|A\backslash f(B)| \ne |A\backslash B|$

[Munin]

Nemiroff в сообщении #976835 писал(а):

Никто не знает, что такое "вычитание по atlakatl".

В принципе, есть "сумма по Минковскому". Правда, обратной операции она не имеет. Но можно взять второе множество, умножить всего элементы на минус единицу (тоже вполне легальная операция), и получится $A+(-B).$

Упражнение для atlakatl: посчитать $\mathbb{N}+(-2\mathbb{N}).$

[Otta]

atlakatl в сообщении #976832 писал(а):

Вычитаем одно из другого в любом порядке, получая ноль.

Можно нескромный вопрос? Где получаем?

[Pphantom]

atlakatl - предупреждение за повторение закрытой темы и оффтопик.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: пока сюда, а там пусть модераторы математических разделов разбираются.