Симметрия тензора

[Ваньша]

Здравствуйте.

Есть ли методы кроме метода прямой проверки и метода прямой проверки в циклическом базисе для определения вида тензора инвариантного относительно операций симметрии той или иной точечной группы?
Разложение тензора по прямым произведениям (диадам или полидиадам в зависимости о ранга) собственных векторов не приветствуется у нас
Я собственно интересуюсь можно ли выяснить вопрос в рамках теории групп.

Это не для коллекции методов Метод прямой проверки выглядит как-то по-детски (хотя в циклических координатах он мне не совсем понятен), кроме того он обладает некоторыми недостатками.

Все это сто раз сделано переделано, но попадаются исключения. Буду признателен за ссылки на литературу или какую-нибудь другую помощь.
Прошу прощения за возможные ляпы в сообщении (таков уровень моего понимания приведенного вопроса на настоящий момент).

С уважением.

[Ваньша]

Хм. Тихо.

Более корректно вопрос может быть поставлен так:

Где (имеется в виду литература) можно подробно узнать о применении теории представлений групп к вопросам симметрии тензоров?

С уважением.

[peregoudov]

Конкретную задачу озвучьте.

[Ваньша]

Необходимо определить вид тензора 4-го ранга инвариантного относительно операций симметрии точечной группы 3m.

Из литературы знаю, что методами теории представлений групп можно построить искомый тензор.

Мне не нужно решение конкретной задачи, мне необходимо освоить метод.

С уважением.

[peregoudov]

Ваньша писал(а):

Необходимо определить вид тензора 4-го ранга инвариантного относительно операций симметрии точечной группы 3m.

Задача понятная, непонятно только, что за группа "3m".

К сожалению, исчерпыващей квалифицированной консультации я дать не могу. К моим словам отнеситесь как к наводящим соображениям.

Прежде всего, любая точечная группа (в том числе Ваша) --- это подгруппа ортогональных преобразований O(3). Соответственно, всякое представление O(3) (в частности, реализуемое тензорами 4-го ранга) --- это одновременно представление Вашей точечной группы. Представление это, вообще говоря, приводимо. Его можно разложить на неприводимые. Если в этом разложении встречается единичное представление точечной группы (возможно, несколько раз, проверить это можно с помощью соотношения ортогональности для характеров), то ему соответствует инвариантный относительно точечной группы тензор. Как восстановить сам вид этого тензора, сразу не скажу, тут мне разбираться надо.

Исходное представление, которое осуществляет тензор --- это прямое произведение представлений, которые осуществляются координатами $x,y,z$. Как правило, в книжках указывают, по каким неприводимым представлениям группы преобразуются координаты. Тогда характеры тензорного представления равны просто произведениям характеров представлений для координат.