Низший порядок для процесса e^{+} e^{-} \to \mu^{+} \mu^{-}

[IvanMazepa]

Почему для процесса $e^{+} e^{-} \to \mu^{+} \mu^{-}$ в низшем порядке есть всего одна tree-диаграмма, соответствующая $s$-каналу? Почему остальные диаграммы с двумя вершинами ($t$- и $u$-) не могут реализоваться? В то же время для $e^{-}\mu^{-} \to e^{-} \mu^{-}$ есть соответствующая $t$-диаграмма, для bhabha рассеяния нужно просуммировать все три, а для Меллеровского рассеяния нужно просуммировать $t$- и $u$-каналы. Ведь во всех случаях никакие законы сохранения в вершинах не нарушаются или я что-то проглядел?

P.S. Связано ли это с тем, что в одних случаях имеется рассеяние, а в других уничтожение и рождение пар?

P.P.S. В Меллеровском рассеянии идентичные частицы в начальном и конечном состояниях, поэтому появление $u-$ канала понятно. Но все равно не понимаю для процесса рождения мюонных пар почему не может быть $t-$ канала?

[fizeg]

Что-то странное вы говорите.

IvanMazepa в сообщении #975757 писал(а):

В то же время для $e^{-}\mu^{-} \to e^{-} \mu^{-}$ есть соответствующая $t$-диаграмма

Правильно. И больше никакой другой. И эта $t$-диаграмма - это положенная на бок (т.е. связанная через кроссинг-симметрию) диаграмма $s$-канала для процесса $e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-$.

IvanMazepa в сообщении #975757 писал(а):

для bhabha рассеяния нужно просуммировать все три

Стоп. Какие три? Там только $t$ и $s$

IvanMazepa в сообщении #975757 писал(а):

а для Меллеровского рассеяния нужно просуммировать $t$- и $u$-каналы.

Ага. Которые связаны по кроссинг симметрии с $t$ и $s$-канальными в Бабе

IvanMazepa в сообщении #975757 писал(а):

Но все равно не понимаю для процесса рождения мюонных пар почему не может быть $t-$ канала?

Есть такая штука под названием закон сохранения лептонного заряда. Точнее лептонных зарядОВ. Их три штуки, на каждое поколение - электронное, мюонное и тау-лептонное. В КЭД они сохраняются каждый по отдельности, поэтому электронная линия никогда не переходит в мюонную. Приближенно это работает и во всей Стандартной модели, хотя здесь уже есть оговорки

[IvanMazepa]

fizeg, во я тупой! спасибо, дошло.

Теперь все стало на свои места

[Munin]

В общем, когда вы выбираете диаграммы для $s,t,u$-каналов, вы по-разному соединяете внутри диаграммы те линии, которые уже заданы на её краях. Например, когда вы рисуете $e^+e^-\to\mu^+\mu^-,$ то вы должны соединить между собой два "начальных" (по времени) электронных "хвостика", один со стрелкой "внутрь" (это позитрон), другой со стрелкой "наружу" (это электрон); и два "конечных" по времени мюонных хвостика, тоже с двумя разными стрелками. Как это можно сделать? Тут есть правила:
1. Мюонная линия на всём протяжении своей длины должна оставаться мюонной линией, а электронная - электронной линией.
2. Направление фермионной стрелки на протяжении всей линии не должно меняться.
Эти правила - это правила КЭД, а в других КТП могут быть другие правила, например, испускание электрослабого бозона превращает лептон в нейтрино и меняет аромат кварка. Зарядовые "стрелки" могут ветвиться и сливаться. На бозонных линиях может не быть стрелки типа "частица-античастица". (Может, и на вейлевских или майорановских фермионах может не быть, это я не знаю.)

А что такое $s,t,u$-каналы? Это самые общие представления о том, каким образом можно сделать древесную диаграмму для процесса $1,2\to 3,4.$ Можно соединить "хвостики" $1{-}2$ и $3{-}4$ - это будет $s$-канал. Можно соединить $1{-}3$ и $2{-}4,$ а можно $1{-}4$ и $2{-}3$ - это будут $t$ и $u$-каналы, смотря какой каким назвать. Но не все такие комбинации возможны, разрешены "правилами соединения хвостиков". Поэтому у каждой реакции есть свои ограничения, какие из каналов для неё возможны. В наиболее жёстком случае будет только один, в наиболее мягком - все три (но не для фермионных линий, потому что тогда будут стрелки на линиях, две входящих и две выходящих, и один из каналов будет запрещён по тому, что в нём направление стрелки должно будет измениться).

С переменными Мандельштама эти каналы одноимённые потому, что в $s$-канале промежуточный фотон имеет импульс, равный мандельштамовской переменной $\sqrt{s},$ и в других каналах аналогично. Но это относится только к древесному уровню, а на самом деле, у любого процесса, скажем, $e^+e^-\to\mu^+\mu^-,$ есть и каналы высших порядков, с теми или иными петлями. Их уже названиями $s,t,u$ не называют.

[IvanMazepa]

Munin, знаю, знаю, но спасибо что напомнили. Выпало как-то из головы то, что именно лептонный заряд должен сохраняться в каждой вершине. У Пескина и Шредера этого в явном виде не сказано.

[Munin]

fizeg в сообщении #975785 писал(а):

Приближенно это работает и во всей Стандартной модели, хотя здесь уже есть оговорки

Оговорки вот такого типа: электрон может через слабую вершину превратиться в электронное нейтрино, а оно может осциллировать в другой тип нейтрино, и через новую слабую вершину - уже в другой лептон. Я правильно понимаю?

[fizeg]

Можно сказать и так. Строже, дают вклады процессы типа
$\usetikzlibrary{snakes} \begin{tikzpicture} \draw [thick,->] (-2.0,-1.0) to node[auto,swap] {$e^{-}$} (-1.5,-1.0); \draw [thick] (-1.5,-1.0)--(-1.0,-1.0); \draw [thick,->] (-1.0,-1.0)--(0.1,-1.0); \draw [thick] (0.1,-1.0)--(1.0,-1.0); \draw [thick,->] (1.0,-1.0)--(1.5,-1.0); \draw [thick] (1.5,-1.0) to node[auto,swap] {$\mu^{-}$} (2.0,-1.0); \draw [thick,dashed] (-1.0,-1.0) to [bend left=45] node [auto] {$W^{-}$} (0.0,0.0); \draw [thick,dashed] (0.0,0.0) to [bend left=45] node [auto] {$W^{-}$} (1.0,-1.0); \draw [thick,snake=coil,segment length=4pt] (0.0,0.0) to node [auto] {$\gamma$} (0.0,1.0); \node at (0.0,-1.4) {$\nu_k$}; \node at (-1.0,-1.4) {$U^\dagger_{ek}$}; \node at (1.0,-1.4) {$U_{\mu k}$}; \end{tikzpicture}$
где $U_{lk}$ - матрица PMNS. Но вклад такой диаграммы в амплитуду задавлен $\frac{m_\nu^2}{m_W^2}$, а вероятность само собой еще в квадрат возводит.

(Оффтоп)

Дошло, что на форуме подключен Tikz. Я в нем не спец большой, но что-то нарисовать могу

[Munin]

(Оффтоп)

Ух ты, пора и мне TikZ осваивать! Пошлите меня в книжку!..

[fizeg]

(Оффтоп)

Могу разве что послать читать мануал. Если честно, эта картинка на пределе моих же познаний этого пакета, но кажется, что по сложности на уровне старого доброго рисования уровня Бейсика или Паскаля. Явно менее требовательный, чем XY-pic

[IvanMazepa]

(Оффтоп)

А зачем велосипед изобретать?
Есть пакет feynmf, разработанный теоретиками. Вот, например, набрал код обсуждаемой диаграммы для процесса $e^+ e^- \to \mu^+ \mu^-$. Сложных диаграмм пока не рисовал, но набор команд интуитивный, физический. Может, стоит прикрутить этот пакет к форуму?

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{feynmf}

\begin{document}

\begin{fmffile}{muon_pair_production}
\begin{fmfgraph*}(120,80)
\fmfleft{i1,i2}
\fmfright{o1,o2}
\fmf{fermion}{i1,v1} \fmflabel{$e^-$}{i1}
\fmf{fermion}{v2,i2} \fmflabel{$e^+$}{o1}
\fmf{photon}{v1,v2} \fmflabel{$\mu^-$}{i2}
\fmf{fermion}{v1,o1}
\fmf{fermion}{o2,v2} \fmflabel{$\mu^+$}{o2}
\end{fmfgraph*}
\end{fmffile}

\end{document}

[Munin]

(Оффтоп)

fizeg
Спасибо! Ушёл читать.

IvanMazepa в сообщении #976403 писал(а):

Может, стоит прикрутить этот пакет к форуму?

Уговорить на это админов мне представляется сложнее, чем самому разобраться с TikZ-ом :-)

[IvanMazepa]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #976602 писал(а):

Уговорить на это админов мне представляется сложнее, чем самому разобраться с TikZ-ом

это да, но, все-таки, зная TikZ, я бы не стал в нем рисовать фейнмановские диаграммы, ну не для этого он предназначен! Вот сами попробуйте нарисовать диаграмму приведенную выше используя TikZ и сравните c аналогичным кодом для пакета feynmf. К тому же если полистать arxiv.org, то там народ в основном пользуется feynmf.

[Munin]

(Оффтоп)

IvanMazepa в сообщении #976617 писал(а):

это да, но, все-таки, зная TikZ, я бы не стал в нем рисовать фейнмановские диаграммы, ну не для этого он предназначен!

А я посмотрел, библиотека snakes как будто специально для этого и создана! А ещё я заметил там удобный примитив для рисования "поверхности земли в поперечном сечении".

IvanMazepa в сообщении #976617 писал(а):

К тому же если полистать arxiv.org, то там народ в основном пользуется feynmf.

Ну это понятно. В общем, если это установят на форуме, я буду только рад. Просто я давно уже махнул рукой на изменения к лучшему.