Система квадратных уравнений. Помогите пожалуйста решить.

[magres]

Привет всем ! есть такая система

ax^2+bx+c = dy^2+ey+f
gx^2+hx+i = jy^2+ky+l

нужно найти пары решений (x,y) а прежде вообще распознать сколько тут есть вообще решений

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l - произвольные числа

Как действовать ?

[AD]

Попробуйте так: "есть такая система

$ax^2+bx+c = dy^2+ey+f$
$gx^2+hx+i = jy^2+ky+l$

уравнений с одной неизвестной $x$ и параметром $y$. При каких значениях параметра $y$ система имеет два решения $x_1,x_2\in\mathbb R$? Одно? Не имеет решений?"

[e2e4]

Систему можно свести к системе уравнений со степенью $y$(или $x$, на выбор) равной единице.
Далее, как справедливо написал AD, принимаем $y$ за константу, и решаем оба квадратных относительно $x$ уравнения системы. Получим четыре зависимости $x(y)$.
Далее, надо приравнять решение первого уравнения последовательно к первому и второму решениям второго. Аналогично, второе решение первого уравнения приравниваем к первому и второму решениям второго. Решаем четыре получившихся уравнения относительно $y$. Получаем $y_{1\ldots4}(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l)$, далее находим $x_{1\ldots4}(y_{1\ldots4})$. Итого получим 4 пары решений.

[Zai]

magres писал(а):

Привет всем ! есть такая система

ax^2+bx+c = dy^2+ey+f
gx^2+hx+i = jy^2+ky+l

нужно найти пары решений (x,y) а прежде вообще распознать сколько тут есть вообще решений

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l - произвольные числа

Как действовать ?

Проще по правилу Крамера определить чему равняется $x, x^2
Далее подставить x в уравнение для $x^2 и решить уравнение четвертой степени.
Случай с нулевым детерминантами при x и у может быть рассмотрен отдельно.

[Профессор Снэйп]

В каждом уравнении выделить в обоих частях полный квадрат. Затем смотреть на знаки коэффициентов при квадратах и рассматривать случаи: пересечение двух эллипсов, пересечение эллипса и гиперболы и т. д.

Но это всё, конечно, довольно муторно. Способ, предложенный Zai, всё же представляется более изящным

[незваный гость]

Профессор Снэйп писал(а):

Способ, предложенный Zai, всё же представляется более изящным

А мне больше импонирует поход e2e4

Но это — лирика. А проза жизни в том, что тут средне-охренительное количество частных случаев. Например, при $a j = d g$ мы имеем не более 2 решений, если их число конечно. Приравняв же все коэффициенты второго уравнения первому, всяк получит потенциально-бесконечное множество (с двумя типами исключений).

Откель и вопрос: на кой корнеплод православному священнику язычковый клавишно-пневматический музыкальный инструмент с мехами и двумя клавиатурами? Или, на нашем простом языке, на хрена попу гармонь? Откуда задача-то?

[serpav]

Эти уравнения определяют на плоскости кривые второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Все зависит от значений констант. Система может вообще не иметь решений, а максимум - четыре.

[Brukvalub]

serpav писал(а):

Система может вообще не иметь решений, а максимум - четыре.

А я знаю такие значения коэффициентов, при которых система имеет бесконечно много решений

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

serpav писал(а):

Система может вообще не иметь решений, а максимум - четыре.

А я знаю такие значения коэффициентов, при которых система имеет бесконечно много решений

Ага. Возьмём все коэффициенты равными нулю

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Ага. Возьмём все коэффициенты равными нулю Smile

А я и другие случаи знаю

[незваный гость]

serpav писал(а):

Эти уравнения определяют на плоскости кривые второго порядка:

Во-первых, не более чем второго порядка.

Во-вторых, эти уравнения описывают не все кривые второго порядка. Хотя может быть, Вас это устраивает.

В-третьих, это всё мы знали. Ну и что?! Как это отвечает на вопрос, зачем это Вам нужно и откуда взялась задача?

P.S. В-четвёртых, разности $c-f$ и $l-i$ являются более удобными переменными. Да и количество параметров сократится.