Интегрирование гамильтоновой системы

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #947336 писал(а):

ok Вот гамильтонова система

$$H(p,x,t)=\sqrt{1-p^2+\frac{t}{(t^2+x^2)^{3/2}}}$$

проинтегрируйте ее в квадратурах.

Padawan в сообщении #947654 писал(а):

Не вижу ОДУ второго порядка, симметрии которого должен найти.

Oleg Zubelevich в сообщении #947722 писал(а):

так сделайте из него скалярное ОДУ второго порядка

Padawan в сообщении #947795 писал(а):

$\dot x =H'_p, \dot p =-H'_x$. Уравнение второго порядка можно сделать относительно $x$ и относительно $p$. Какое хотите?

Oleg Zubelevich в сообщении #947796 писал(а):

its up to you

Попробуем для начала уравнение относительно $x$. Получилось вот такое страшное

$$ \ddot x=A\dot x^3+B\dot x^2+A\dot x+B $$

где

$$ A=\frac{t^2-x^2/2}{(t^2+x^2)^{5/2}+t(t^2+x^2)}, B=\frac{-3/2\cdot tx}{(t^2+x^2)^{5/2}+t(t^2+x^2)} $$

Будем искать симметрии этого ОДУ второго порядка.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #973475 писал(а):

вот такое страшное

что поделаешь, это не модельный пример, а задача из динамики

[DLL]

Можно ли в этом уравнении при помощи замены избавится от корня?
Тогда можно было бы применять компьютерно-алгебраические методы симметрийного анализа...

[DLL]

Поступил так. Если ввести $y(t) = \sqrt{t^2+ x(t)^2}$, то
$\dot y = \frac{t+x \dot x}{y}$.
Тогда исходную задачу можно переписать в виде:

$$\ddot x= \frac{t^2-x^2/2}{y^5+t y^2} \dot x^3+\frac{-3/2\cdot tx}{y^5+t y^2} \dot x^2+\frac{t^2-x^2/2}{y^5+t y^2} \dot x+\frac{-3/2\cdot tx}{y^5+t y^2}$$

$$\dot y = \frac{t+x \dot x}{y}$$

Теперь система в рациональном виде. Можно записать определяющие уравнения для инфинитиземальных операторов точечных симметрий и привести их в инволюцию (на компьютере). Результат:

$$\eta_y = 0, \eta_x = 0, \xi_t = 0$$

Нетривиальные симметрии отсутствуют

[Padawan]

Что значит "привести в инволюцию"? Объясните, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

Ну, вообщем, далее уже наверное ничего не будет.

Движение материальной точки в поле диполя в плоскости описывается следующим гамильтонианом (система координат -- декартова)

$$H=\frac{1}{2m}\Big(p_x^2+p_y^2\Big)+\frac{kx}{(x^2+y^2)^{3/2}}.\qquad (*)$$

Сужение этой системы на один из уровней интеграла энергии, дает систему с гамильтонианом из стартового поста.

Переменные в системе (*) разделяются в полярных координатах:

$$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{1}{2r^2}\Big(\frac{p_\phi^2}{m}+k\cos\phi\Big).$$

В дополнение к инткгралу энергии система обладает интегралом

$$f=\frac{p_\phi^2}{m}+k\cos\phi.$$

Теорема Нетер и в частности общие теоремы динамики помимо интеграла энергии, дают лишь линейные по скоростям интегралы (теорема сохранении импульса, момента импульса ит.д.), но интеграл $f$ -- квадратичен по скоростям и независим с интегралом энергии, он в принципе не может быть получен из общих теорем динамики. Этот факт интересен сам по себе. Из классических задач еще можно вспомнить волчок Ковалевской, там имеется интеграл четвертой степени.

[scwec]

Вот два объяснения появления этого первого интеграла.
1. С Лагранжевой точки зрения.
Рассмотрим механическую систему $(M^n,T,\omega)$, где $M^n$ - конфигурационное многообразие, $T$ - квадратичная форма кинетической энергии, $\omega$ - силовая форма не обязательно потенциальная.
Пусть $X$ - гладкое векторное поле на $M^n$. Обозначим $\Omega_X=i_X{T}, M=i_X\omega$ ($i_X$ - внутреннее умножение и $L_X$ далее производная Ли).
Уравнения движения имеют первый интеграл, квадратичный по импульсам вида $F=\frac{1}{2}v^2+N$, где $v$ линейная по скоростям форма, $N$ гладкая функция на $M^n$ который находится квадратурами, тогда и только тогда, когда существует на $M^n$ гладкое векторное поле $X$ такое, что $L_X{T}=0$
и форма $M\Omega_X$ точна. (Что-то вроде обобщения теоремы Нётер для квадратичных интегралов). В нашем случае $X=y\frac{\partial}{\partial{x}}-x\frac{\partial}{\partial{y}}$.
Условия утверждения выполняются и $v=\Omega_X/dt,N=-\int{M\Omega_X}$.

2. С гамильтоновой точки зрения.
Потенциальная функция $U(q_1,...,q_n)$ однородна степени $-2$.
На фазовом пр-ве $M^{2n}(q_i,p_i)$ положим $H=\sum\frac{p_i^2}{2m_i}+U, F_2=\sum{p_i}{q_i},F_3=-\frac{1}{2}\sum{m_i}{q_i^2}$. Функции $H,F_2,F_3$
порождают алгебру Ли изоморфную $sl(2,R)$. Из невырожденной формы Киллинга на ней и отображения момента появляется первый интеграл уравнений движения $\Phi=F_2^2+4HF_3$.
Т.е. $\{H,\Phi\}=0$, где { } - скобка Пуассона. Потенциальную функцию можно усложнить, добавив к ней $F_3$. Оба утверждения справедливы для любой размерности.

[Oleg Zubelevich]

$T=g_{ij}\dot x^i\dot x^j/2,\quad i_XT=g_{ij}X^idx^j/2,\quad v=g_{ij}X^i\dot x^j/2$ так?
а вообще здорово! распишу по-подробней, положу себе в архив

-- Пт фев 06, 2015 17:58:56 --