Код бинома

[PhisicBGA]

TR63 писал(а):

надо указать общее свойство, присущее всем уравнениям, начиная с $k=1$ (в ВТФ оно есть)

Спасибо за существенное замечание!Общее свойство присущее всем уравнениям вида

$$(x+y)^2^n+(x-y)^2^n=2z^n . . {(1)} $$

действительно есть.
Введём некоторые обозначения:
$(B^n_{+})$ - сумма членов разложения бинома $(x+y)^n$ стоящих на нечётных местах;
$(B^n_{-})$ - сумма членов разложения бинома $(x+y)^n$ стоящих на чётных местах;
Для любых целых $n$ уравнение $(1)$ может быть приведено к виду

$$(B^n_{+})^2+(B^n_{-})^2 =z^n$$

Доказательство,думаю,очевидное и не составит труда.
Примеры:

$$x^2+y^2=z $$

$$(x^2+y^2)^2+(2xy)^2=z^2 $$

$$x^2(x^2+3y^2)^2+y^2(x^2+3y^2)^2=z^3 $$

$$[(x^2+y^2)^2+(2xy)^2]^2+[4xy(x^2+y^2)]^2=z^4 $$

$$x^2(x^4+10x^2y^2+5y^4)^2+y^2(y^4+10x^2y^2+5x^4)^2=z^5$$

Это же уравнение $(1)$ может быть так же приведено к виду

$$(B^2_{+}+B^2_{-})^n+(B^2_{+}+B^2_{-})^n =2z^n$$

Сделаем замену

$$B^2_{+} =a;B^2_{-}=b$$

Тогда

$$(a+b)^n+(a-b)^n =2z^n$$

Интуитивно было понятно ,что уравнение $(1)$ сводится к уравнению ВТФ, но как видно имеются и отличия. В связи с этим возникает такая мысль:доказательство невыполнимости уравнения $(1)$ и уравнения ВТФ должно быть одно и тоже и основываться на каких то общих особенностях этих уравнений.Поэтому необходимо попытаться максимально раскрыть уравнение $(1)$,используя систему приведённых выше примеров, получить аналогичную систему для уравнения ВТФ и выявить их общие особенности. После несколько объёмной , но приятной (всегда удивляет потрясающая симметрия членов разложения бинома и неожиданные трансформации его коэффициентов) получилась вот такая система для первых семи показателей $n$ уравнения $(1)$ :

$$x^2+y^2=z $$

$$(x^2+y^2)^2+4x^2y^2=z^2 $$

$$(x^2+y^2)^3+12x^2y^2(x^2+y^2)=z^3 $$

$$(x^2+y^2)^4+24x^2y^2(x^2+y^2)^2+16x^4y^4=z^4 $$

$$(x^2+y^2)^5+40x^2y^2(x^2+y^2)^3+80x^4y^4(x^2+y^2)=z^5 $$

$$(x^2+y^2)^6+60x^2y^2(x^2+y^2)^4+240x^4y^4(x^2+y^2)^2+64x^6y^6=z^6 $$

$$(x^2+y^2)^7+84x^2y^2(x^2+y^2)^5+560x^4y^4(x^2+y^2)^3+448x^6y^6(x^2+y^2)=z^7 $$

Гипотетически экстраполируя полученные результаты на все показатели, можно сделать вывод:в общем виде уравнение $(1)$ имеет следующий вид:
для всех показателей $n=4m$,где $m$- любое целое число

$$(x^2+y^2)^n+C_2x^2y^2(x^2+y^2)^{n-2}+....+C_{n-2}x^{n-2}y^{n-2} (x^2+y^2)^2+C_nx^ny^n=z^n$$

для всех показателей $n=k$,где $k$- любое нечётное число

$$(x^2+y^2)^k+C_2x^2y^2(x^2+y^2)^{k-2}+....+C_{k-2}x^{k-2}y^{k-2} (x^2+y^2)^3+C_{k-1}x^{k-1}y^{k-1}(x^2+y^2)=z^k$$

Коэффициенты можно найти,зная правило их образования.Правило довольно красивое и конечно же связано с "треугольником Паскаля".Кто хочет - может на досуге найти это правило,руководствуясь приведёнными выше коэффициентами.
Найдём теперь подобную систему для уравнения ВТФ - $x^n+y^n =z^n$, где $x,y,z$-взаимно простые целые числа, используя формулы разложения биномов для соответствующих степеней.
Для первых семи степеней получается следующая система уравнений:

$$x+y=z $$

$$(x+y)^2-2xy=z^2 $$

$$(x+y)^3-3xy(x+y)=z^3 $$

$$(x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2=z^4 $$

$$(x+y)^5-5xy(x+y)^3+5x^2y^2(x+y)=z^5 $$

$$(x+y)^6-6xy(x+y)^4+9x^2y^2(x+y)^2-2x^3y^3=z^6 $$

$$(x+y)^7-7xy(x+y)^5+14x^2y^2(x+y)^3-7x^3y^3(x+y)=z^7 $$

Сравнив эти две системы уравнений можно отметить их структурное сходство.Но есть и отличия, которые предположительно не влияют на структуру искомого доказательства.Необходимо определить их общие существенные особенности, на основе которых и должно строится доказательство.

[TR63]

PhisicBGA в сообщении #972000 писал(а):

Коэффициенты можно найти, зная правило их образования

Сколько операций требуется для нахождения коэффициентов? Чтобы была аналогия с ВТФ, надо на всех этапах соблюдать сохранение количества операций. (При описании последовательности уравнений, общего свойства, при делении на смежные классы, при отображениях из одного класса в другой). (Хочу предупредить, что я не математик и слежу за этой темой чисто из любопытства пока модераторы терпят, особо не вникая пока в расчёты.)