Сам себе отвечу, чтобы показать простоту.
(Решение.)
1. Назовём такую функцию
-й функцией. Дифференцируем по
равенство и получаем
т. е.
— это
-я функция.
Теперь посмотрим, какое значение
-я функция может иметь в нуле:
так что если
, обязательно
.
Комбинируя предыдущее, видим, что коэффициенты ряда Маклорена
— это
, так что
, где
— формальный степенной ряд, для которого предыдущее выражение даёт аналитическую функцию. [Насколько это условие нетривиальное, не знаю; если брать
только аналитическими функциями, получим ли мы все аналитические
?]
2. Поступим по аналогии с выделением чётной/нечётной части (т. к. чётные и нечётные функции — это то же самое, что
-е и
-е) и положим
, после этого потребовав от такой суммы
-ость. Получим
. Выберем
: тогда сумма
. Перелёт, ну так и разделим каждую
на
.
Это немного непрозрачно (предполагаем и предполагаем без видимых причин), но сейчас я забыл, как это получалось последовательно.
P. S. От экспонент рябит в глазах — надо было сразу обозначить
…