Щелчок

[Munin]

Это вьющееся решение называется интегрируемым?

[Oleg Zubelevich]

я не знаю, что такое "интегрируемое решение". Система интегрируема по Лиувиллю, отсюда , в частности, вытекает, что она интегрируема в квадратурах.

[dovlato]

Что значит "заметая плотно". Имеется в виду мн-во всех возможных траекторий? Потому что каждая отдельная траектория
у меня по кр. мере ничего не заметает - это периодическая кривая, $T=2\pi/\Omega$. С эпициклами, имеющими период $T/2$.

[Munin]

dovlato в сообщении #971282 писал(а):

это периодическая кривая

Значит, у вас где-то ошибка. Приводите выкладки.

-- 30.01.2015 19:56:51 --

Специально подобрав жёсткость пружины, можно добиться, чтобы движение было периодическим в пренебрежении некоторыми малыми эффектами. Но в точности оно периодическим не будет.

[dovlato]

Здесь вообще нет малых эффектов. Пружина, конечно, специально подобранная.
И вот с такой пружиной то что я вкратце привёл - по моему, исчерпывает все возможные решения.
Ещё раз. Если я не ошибаюсь, то во вращающейся СО тело тело просто описывает окружность с постоянным центром,
с постоянным радиусом, с постоянной угловой частотой $\omega=2\Omega$.
Если ошибаюсь, был бы благодарен объяснениям.

[Oleg Zubelevich]

Давайте определимся с постановкой задачи. Если $L=0$ то все решения являются периодическими, если $L\ne 0$ то почти все решения не являются периодическими.

[dovlato]

Я не знаю, какую роль тут играет $L$. Прямо из (39.9) ЛЛ следует, что в СО, вращающейся с угловой скоростью $\Omega$, при выполнении специального условия

$$U(r)=\frac{m}{2}\Omega^2r^2$$

скорость подчиняется уравнению

$$d\vec V/dt=2[\vec V\vec\Omega]$$

Оно, очевидно, аналогично уравнению движения заряда в однородном магнитном поле, и точно так же влечёт за собой равномерное движение по некоторой окружности,
центр которой находится в точке

$$\vec R_0=\vec R-\frac{[\vec\Omega\vec V]}{2\Omega^2}$$

Величина её радиуса $\rho=\frac{V}{2\Omega}$ и угловая скорость обращения $\omega=2\Omega$ полностью определяются скоростью вращения СО, и скоростью, приобретаемой телом после щелчка.

[Munin]

Может, я и неправ.

[dovlato]

У меня осталось ощущение чего-то не очень понятого.

[Oleg Zubelevich]

неинерциальная система только затемняет ссодержание в данном случае

[dovlato]

Спорно. Я же просил найти систему, в которой это движение выглядит наиболее просто.
Ну так чего же проще - равномерное вращение.
Для меня свойствен подход, который я сам определяю как наивно-физический.
Вы же обретаетесь в формализме теоретической механики.

[Oleg Zubelevich]

В развитие предыдущей задачи, рассмотрим вместо точечной массы шар.

Пусть теперь по горизонтальному столу без проскальзывания катается однородный шар радиуса $r$ массы $m$. К центру шара прицеплена пружина жесткости $k$, другой конец пружины закреплен на высоте $r$ от плоскости стола. Длина пружины в расслабленом состоянии равна нулю. Составить уравнения движения, описать качественно динамику системы.

[Geen]

Oleg Zubelevich в сообщении #972223 писал(а):

В развитие предыдущей задачи, рассмотрим вместо точечной массы шар.

Пусть теперь по горизонтальному столу без проскальзывания катается однородный шар радиуса $r$ массы $m$. К центру шара прицеплена пружина жесткости $k$, другой конец пружины закреплен на высоте $r$ от плоскости стола. Длина пружины в расслабленом состоянии равна нулю. Составить уравнения движения, описать качественно динамику системы.

А когда шар падает обратно на стол, соударение считать упругим?

[Oleg Zubelevich]

что интересно, ответ качественно такой же, как и в стартовой задаче. Введем декартову систему координат $xyz$ так, что плоскость $xy$ совпадает с плоскостью стола, а точка закрепления пружины имеет координаты $(0,0,r)$. Уравнения движения ценра шара:

$$\ddot x+\omega^2 x=0,\quad \ddot y+\omega^2 y=0,\quad \omega^2=\frac{5}{7}\frac{k}{m}.$$

Центр шара движется по эллипсам.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Вы оператор уничтожения интересных задач. Приходите, и обобщаете задачу до сложной, скучной и ненужной.