Щелчок

[dovlato]

Точечная масса $m$ вращается вокруг неподвижной точки О по окружности радиуса $R$ с постоянной угловой скоростью $\Omega$.
Она присоединена к одному из концов невесомой пружины, жёсткость которой равна $k=mR\Omega^2$.
Другой конец пружины прикреплён к точке О. Гравитации нет.
В некоторый момент времени массе щелчком придаётся дополнительная скорость $\vec V$.
Описать дальнейшее её движение.

[Oleg Zubelevich]

нужна картинка и подробное описание

[dovlato]

Представьте гладкий горизонтальный стол, в центре которого шарнирно прикреплен конец пружины.
Масса, прикреплённая к другому концу пружины, свободно крутится по столу.

[Oleg Zubelevich]

представил, получил прямое произведение математических маятников и фигуры Лиссажу, и что?

[zvm]

dovlato в сообщении #970812 писал(а):

Описать дальнейшее её движение.

Масса будет двигаться по эллиптической траектории с центом в точке О.

[Munin]

zvm в сообщении #970836 писал(а):

Масса будет двигаться по эллиптической траектории с центом в точке О.

Фигу. Нейтральное положение пружины не в центре. Движение будет некрасивое (Oleg Zubelevich ближе к цели), потому что потенциал неаналитический (имеет cusp в начале координат).

[dovlato]

Ну ладно. Предложить систему, в которой движение и его параметры описываются наиболее просто.
Я должен извиниться. Заметил, что почему-то исправление не прошло: должно быть $k=m\Omega^2$.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #970830 писал(а):

Представьте гладкий горизонтальный стол, в центре которого шарнирно прикреплен конец пружины.
Масса, прикреплённая к другому концу пружины, свободно крутится по столу.

либо я чето не понимаю, либо это банальная задача В декартовых кооординатах переменные разделяются:

$$H=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2)$$

два независимых мат маятника, с одной и тойже частотой причем

[dovlato]

Ну и какая траектория. Я ж простоты прошу. Можно и без формул, качественно.

[Oleg Zubelevich]

траектории -- эллипсы, за исключением случая, когда точка полетит прямо на центр

-- Пт янв 30, 2015 00:23:59 --

один из двух потенциалов, когда все ограниченные траектории замкнуты, второй -- задача Кеплера

[Munin]

Ну не эллипсы.

Потенциал $\dfrac{k}{2}(\sqrt{x^2+y^2}-L)^2.$

Читайте внимательнее условия задачи.

[Oleg Zubelevich]

а, в смысле в расслабленом состоянии длина пружины ненулевая. понятно. переходим в полярные координаты, выписываем приведеный потенциал...

[dovlato]

Я имел в виду переход в СО с тем же началом координат и вращающуюся с постоянной угловой частотой $\vec \Omega$.
Согласно Механике (ЛЛ), энергия частицы в ней

$$E=mV^2/2-\frac{m}{2}\Omega^2r^2+U(r)$$

Уже из этого следует, что если "центробежный отрицательный коэффициент жёсткости" $- m\Omega^2$ скомпенсировать подходящей пружиной,
то в этой системе тело будет двигаться с постоянной по модулю скоростью. На него будет действовать сила Кориолиса, точно так же постоянная по модулю.
Ergo - в равномерно вращающейся СО это тело описывает окружность с некоторым радиусом $\rho$, двигаясь со скоростью $\vec V$ и с некоторой угловой скоростью $\omega$.
Так как центростремительное ускорение (относительно центра описываемой окружности) равно ускорению кориолисову

$$\omega V=2\Omega V$$

то

$$\omega =2\Omega$$

Так как

$$V=\omega\rho$$

то

$$\rho=\frac{V}{2\Omega}$$

Интересная аналогия с движением заряда в однородном магнитном поле.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #971026 писал(а):

переходим в полярные координаты, выписываем приведеный потенциал...

Интересно, что получится.

dovlato в сообщении #971157 писал(а):

Интересная аналогия с движением заряда в однородном магнитном поле.

В общем, то, что сила Кориолиса аналогична силе Лоренца, - это давно и хорошо известно.

Вот толку с этого немного. Разве что... Вот интересно, можно ли для электрона, рассматриваемого во вращающейся системе координат, получить уровни Ландау. И если нет, то что помешает.

[Oleg Zubelevich]

Функция Рауса: $R=m\dot r^2/2-W_p,\quad p=m\dot\phi r^2,$

$$W_p(r)=\frac{1}{2}\Big(\frac{p^2}{mr^2}+k(r^2-2Lr)\Big)$$

При $p\ne 0$ имеется единственное стационарное решение $r=r_*(p),\quad W'_p(r_*)=0$, это решение устойчиво по Ляпунову по переменным $r,\dot r,\dot\phi$ вообщем все совершенно банально, траектория вьется вокруг окружности $r=r_*$, вообще говоря, заметая всюду плотно некоторое ккольцо.