2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение28.01.2015, 19:46 


28/05/12
214
Докажем, что если множества $X,Y,Z$ таковы, что $Z\subset Y\subset X$ и $|X|=|Z|$, то $|X|=|Y|$. Пусть $f:X \to Z$ - биекция. Тогда построим биекцию $g:X\to Y$
$\begin{equation*}
g(x) = 
 \begin{cases}
   f(x) &\text{если $x\in f^n(X)\setminus f^n(Y)$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$}\\
   x &\text{иначе}
 \end{cases}
\end{equation*}$
Возьмем множество $X = \mathbb{N}$, $Z=\{ x\in \mathbb{N}| \text{x делится на 4} \}$, $Y=\{ x\in \mathbb{N}| \text{x делится на 2} \}$
$f(x)=4x$, тогда $g(1) = 1$, но $1\notin Y$. У меня уже от упражнений из Зорича мозг взрывается((.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение28.01.2015, 19:55 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Это довольно трудная теорема. Возьмите и прочитайте её доказательство где-нибудь еще. В Колморове, Фомине, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение28.01.2015, 20:05 


28/05/12
214
Там же другое доказательство. Меня интересует именно это, потому что мне кажется что в Зориче ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение28.01.2015, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А в Зориче натуральные числа с нуля? В данном случае надо учитывать в верхней альтернативе $f^0(X) \setminus f^0(Y) = X\setminus Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение29.01.2015, 19:56 


28/05/12
214
Я правильно понимаю что мы оставляем на месте только элементы $f^n(Y\setminus Z)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение29.01.2015, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Кстати, тут на форуме были жалобы по поводу доказательства Зоричем этой теоремы. (Однако Зорич многократно переиздаётся.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение02.02.2015, 13:26 


28/05/12
214
Дочитал Зорича до натуральных чисел, там они начинаются с единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение18.06.2018, 04:08 
Аватара пользователя


25/01/13
12
Посмотрите тут Теорема 1.4.3 [Дудаков С. М. Основы теории моделей.]

Это единственно доказательство которое я смог понять. В книге Колмогорова, Фомина как-то уж слишком поверхностно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Теорема Шредера-Бернштейна.
Сообщение20.06.2018, 20:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gangstervano в сообщении #1320705 писал(а):
В книге Колмогорова, Фомина как-то уж слишком поверхностно.

Колмогорова-Фомина никак не назовёшь поверхностными. Другое дело, что и в небрежности изложения им никак не откажешь, из-за чего д-во у них получилось не слишком внятным. Но как только попытаешься вникать -- идея становится очевидной, и идея эта весьма проста. Вообще их вариант доказательства, наверное, оптимален -- и коротко, и без ненужных изобретательств.

Идея такая (обозначения изменю на более разумные, ПМСМ). Берём любой $x_0\in X$ и вытягиваем из него цепочку прообразов: $y_0=g^{-1}(x_0)\in Y$, $x_1=f^{-1}(y_0)\in X$, $y_1=g^{-1}(x_1)\in Y$ и т.д. Эта цепочка может оборваться, если у какого-то элемента прообраза не окажется -- а может продолжаться неограниченно долго.

Порядком $l_{x_0}$ элемента $x_0$ назовём длину соответствующей цепочки, т.е. количество её звеньев. В частности, если у $x_0$ нет прообраза, то $l_{x_0}=0$. Для элементов $y_0\in Y$ понятие порядка вводится аналогично, только цепочка начинается с $f^{-1}$, а не с $g^{-1}$.

Теперь -- ключевое и вполне очевидное утверждение, которое Колмогоров-Фомин как-то зажевали, из-за чего их изложение доказательства сильно проиграло: $l_{f(x_k)}=l_{x_k}+1$ -- или, другими словами, применение функции к любому элементу удлинняет цепочку прообразов ровно на одно звено (в частности, бесконечная цепочка остаётся бесконечной). Естественно, для игреков всё ровно так же, с заменой $f$ на $g$.

Далее всё уже достаточно напрашивается. Изменение на единичку -- это, собственно, изменение чётности. Посему разбиваем $X$ на $X_0$ (элементы чётного порядка), $X_1$ (порядка нечётного) и $X_{\infty}$ (порядка бесконечного, т.е., собственно, неопределённой чётности). Для игреков -- аналогично.

Из-за увеличения порядка ровно на единичку функция $f$ инъективно переводит $X_1$ в $Y_0$, $X_0$ в $Y_1$ и $X_{\infty}$ в $Y_{\infty}$. В двух последних случаях -- это не только инъекция, но и биекция, т.к. для элементов на выходе длина цепочки не менее единицы и, следовательно, у них прообраз существует.

Для $f\colon X_1\mapsto Y_0$ -- это, конечно, не более чем инъекция (вообще говоря). Но зато биекцию между двумя этими множествами осуществляет функция $g$. Вот и всё.

Это -- очень лаконичное и без выкрутасов доказательство. Мне раньше читать его не доводилось, но вот сейчас вчитался -- и мне сильно понравилось.

Прочитать Дудакова не смог, он откровенный пижон. У него какое-то безумное нагромождение дополнительных конструкций и понятий, абсолютно не нужных для реализации основной идеи (как я её понял -- ведь понять её достоверно нет никакой возможности в силу безумия). Между тем та самая идея (как я её понял, ещё раз соррю) весьма тоже проста и привлекательна, и при этом не требует для своей реализации ничего, кроме минимальных, самых что ни на есть базовых понятий теории множеств. Реализация, правда, выйдет несколько длиннее, чем у К.-Ф., но оно того стоит: построение биекции окажется исключительно конструктивным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group