Корни алгебраического / трансцендентного уравнения

[ScaN]

Помогите разобраться в азах, понять как что правильно называется, дайте ссылки на курсы или книги.

Вообще интересует уравнение $\mathbf{f}(\mathbf{x},A_i)=\mathbf{0},\quad\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n},\quad f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}, $ где $f$ - столбец функций аналитических в области определения, $A_i\in\mathbb{R}^{m}$ - параметры. Известно, что $\mathbf{f}$ непрерывна от $\mathbf{x},\,A_i$ Но для большей определенности и простоты можно взять

$$\begin{array}{rcl} f(x,y,A_i) &=&0,\\ g(x,y,A_i) &=&0,\\ \end{array} $$

где $f,\,g$ - многочлены некоторой большой степени, $A_i$ - параметры, коэфициенты многочленов.

Интересует следующее:

• Как доказывается непрерывная зависимость (комплексных) корней от коэфициентов многочленов (в одномерном, а также в случае многих переменных)?
• При каких условиях имеет место непрерывная зависимость корней в случае когда $f,\,g$ являются не многочленами, а просто непрерывно дифференцируемыми функциями?
• Верно ли, что невырожденность якобиана $\partial\mathbf{f}/\partial\mathbf{x}$ всюду в области определения для всех значений параметров достаточна для существования непрерывно зависящего от параметров действительного корня?

Единственный известный мне факт, относящейся к теме, является Теорема о неявной функции в этой форулировке.

Буду рад любому свету, пролитому на эти темы, а в особенности объяснениям, которые будут понятны человеку, плохо знающему ТФКП и алгебру. Ссылка на страницу книги или лекций (рус, англ) с пояснением, что я там найду, является желанным ответом. Спасибо.

[ex-math]

Иногда корень трансцендентного уравнения можно разложить в ряд по степеням малого параметра. По сути, это задача обращения степенного ряда: если $w(z)$ раскладывается в ряд по степеням $z$, найти $z(w)$ в виде ряда по степеням $w$. Эту задачу в простом случае решает теорема Бюрмана-Лагранжа. Таким образом удалось найти решение уравнения Кеплера в небесной механике. В принципе, это не особо навороченная ТФКП, и прочитать можно в книге Лаврентьева и Шабата, у Маркушевича тоже, в книгах по асимптотическим методам (Евграфов).

Ну а в Вашей общей и многомерной постановке, действительно, лучше подойдет теорема о неявной функции.