сопряженное пространство

[Oleg Zubelevich]

Пусть $X$ -- произвольное множество. Снабдим $F=\mathbb{R}^X$ топологией прямого произведения. Доказать, что $F'$ состоит из конечных линейных комбинаций $\delta-$функций.


[:|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||:]

[Padawan]

И даже для любого линейного подпространства $L\subset F$ сопряженное $L'$ состоит из того же самого.
Топология прямого произведения в $L$ (также называемая топологией поточечной сходимости) задается системой полуноhм $p(f)=|f(x_1)|+\ldots+|f(x_n)|$, где точки $x_i\in X$. Функционал $\varphi\in L'$ должен удовлетворять неравенству $|\varphi(f)|\leqslant Cp(f)$ для некоторых константы $C>0$ и полунормы $p$. Отсюда следует, что если $f(x_1)=\ldots=f(x_n)=0$, то $\varphi(f)=0$. Поэтому $\varphi(f)$ является линейной комбинацией функционалов $\delta_{x_i}(f)=f(x_i)$, $i=1,\ldots, n$.

[Padawan]

Padawan в сообщении #966644 писал(а):

И даже для любого линейного подпространства $L\subset F$ сопряженное $L'$ состоит из того же самого.

Ну да. Вообще, для любого локально выпуклого топологического векторного пространства $F$ и любого его линейного подпространства $L$ непрерывные линейные функционалы на $L$ -- это ограничения на $L$ функционалов из $F'$. Следует из теоремы Хана-Банаха.

[Oleg Zubelevich]

и вообще $(\prod_s F_s)'=\sum_s F'_s$ и наоборот, кстати, тоже $(\sum_s F_s)'=\prod_s F'_s$