Догонялки: шарики и чёрная дыра

[мат-ламер]

Задача навеяна темой http://dxdy.ru/topic92849.html. Допустим у нас есть чёрная дыра солнечной массы. И мы парим над ней на том же расстоянии, которое равно расстоянию от Земли до Солнца. Допустим у нас есть очень много шаров диаметром 1 метр. Каждую секунду мы сбрасываем один шар в сторону чёрной дыры со скоростью 2 м/cек. Т.о. за определённое число лет можно выбросить столько шаров, чтобы они могли заполнить всю дорогу до чёрной дыры. Что же будет с шарами? С нашей точки зрения они будут сначала падать на дыру, а затем тормозиться вследствие замедления времени вблизи горизонта чёрной дыры. В частности, ни один из шаров чёрной дыры не достигнет. Значит они все будут располагаться на дороге от нас до дыры. В принципе они для нас будут сплюснуты. Но, всё равно при этом их может уместиться на этой дороге только конечное число. Значит, если мы будем продолжать сбрасывать шары, то они должны будут сталкиваться друг с другом. С другой стороны, приливные силы должны приводить к тому, что расстояние между шарами (с их точки зрения) должно увеличиваться. Как же разрешить этот парадокс? В принципе можно представить такую ситуацию, что шары сплющиваются по ходу движения и на последнем метре перед дырой располагается бесконечное число шаров, всё более и более сплюснутых. Т.о. в нашем поле зрения может уместиться какое угодно большое количество шаров. Только вот считается, что приливные силы не сплющивают, а растягивают шары по ходу движения (с точки зрения каждого конкретного шара). Теперь, находясь на самом первом нижнем шаре возле дыры, оглянёмся назад. Логично, что все шары будут растянуты по ходу движения. Сможем ли мы увидеть произвольно большое количество шаров? Парадокс возникает снова.

[venco]

мат-ламер в сообщении #966407 писал(а):

Но, всё равно при этом их может уместиться на этой дороге только конечное число.

Безотносительно к остальному, как вы получили этот вывод?

[мат-ламер]

venco в сообщении #966418 писал(а):

мат-ламер в сообщении #966407 писал(а):

Но, всё равно при этом их может уместиться на этой дороге только конечное число.

Безотносительно к остальному, как вы получили этот вывод?

Почему безотносительно? Дальше я показываю, что да, может и бесконечное число поместиться (с нашей точки зрения). Только непонятно, что мы увидим с точки зрения наблюдателя на самом первом выпущенном шаре, который уже почти достиг дыры (оглядываясь назад). Вроде его шар вытянут вдоль движения. А остальные имеют конечную длину. Как он может увидеть бесконечное число шаров?

[arseniiv]

Вопрос какой-то неправильный. Если он выкинул конечное число шаров, то да, разумеется, он бесконечного числа шаров не увидит. Но это же не значит, что бесконечное число шаров (точнее, сколь угодно большое число) не уместится!

-- Ср янв 21, 2015 23:44:44 --

Не хотите ли вы сначала разобраться с горизонтом событий в ускоряющейся СО без всяких чёрных дыр? Пример-то действительно удобнее.

[мат-ламер]

arseniiv в сообщении #966431 писал(а):

. Но это же не значит, что бесконечное число шаров (точнее, сколь угодно большое число) не уместится!

До меня дошло. Если наблюдатель, бросающий шары, видит первый шар бесконечно долго, то наблюдатель на первом шаре видит бросающего шары лишь конечное время. Чего-то затупил. Теперь всё ясно.

[venco]

мат-ламер в сообщении #966427 писал(а):

venco в сообщении #966418 писал(а):

мат-ламер в сообщении #966407 писал(а):

Но, всё равно при этом их может уместиться на этой дороге только конечное число.

Безотносительно к остальному, как вы получили этот вывод?

Почему безотносительно?

Я просто логики именно в выводе про "конечное число" не вижу.
Чисто для проверки - сколько, по вашему мнению, целых степеней двойки помещается на отрезке [0,1]?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #966407 писал(а):

Как же разрешить этот парадокс?

Разные утверждения относятся к разным точкам зрения. В чём парадокс-то?

-- 21.01.2015 23:47:19 --

venco в сообщении #966465 писал(а):

Я просто логики именно в выводе про "конечное число" не вижу.

А её и нет. Корректный расчёт даст бесконечность.

(Что интересно, если не бросать шары, а спускать верёвочку с мерными делениями, то такой верёвочки до горизонта событий уложится конечная длина. Но наблюдатель у верхнего конца верёвочки этого не увидит: он увидит, что нижний конец верёвочки ещё не достиг $r_g.$)

[мат-ламер]

venco в сообщении #966465 писал(а):

Я просто логики именно в выводе про "конечное число" не вижу.

мат-ламер в сообщении #966433 писал(а):

До меня дошло. Если наблюдатель, бросающий шары, видит первый шар бесконечно долго, то наблюдатель на первом шаре видит бросающего шары лишь конечное время.

Ошибка у меня была в том, что если бросающий шары видит бесконечное число шаров, которые сплющиваются при приближении к чёрной дыре, то и наблюдатель на первом шаре должен видеть такую же картину. На самом деле наблюдатель на первом шаре при приближении к горизонту видит всё большее и большее количество шаров. Только они сплющиваются не у чёрной дыры, а возле бросающего шары. Теперь вроде разобрался.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #966925 писал(а):

На самом деле наблюдатель на первом шаре при приближении к горизонту видит всё большее и большее количество шаров. Только они сплющиваются не у чёрной дыры, а возле бросающего шары.

Нет, и это неверно.

мат-ламер в сообщении #966925 писал(а):

Теперь вроде разобрался.

Поймите, наконец, Кеша, что есть вещи, в которых нельзя разобраться, если не сесть за стол и не посчитать всё аккуратно и честно.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #966941 писал(а):

мат-ламер в сообщении #966925

писал(а):
На самом деле наблюдатель на первом шаре при приближении к горизонту видит всё большее и большее количество шаров. Только они сплющиваются не у чёрной дыры, а возле бросающего шары.

Нет, и это неверно.

Извините, что-то не так?

[Munin]

Ответы ваши не так. Умение интегрировать у вас не так. А уж знание матчасти так вообще по нулям.

[Geen]

(Оффтоп)

как-то так: http://casa.colorado.edu/~ajsh/schwp.html#freefall

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #966925 писал(а):

Только они сплющиваются не у чёрной дыры, а возле бросающего шары

Пока последнюю ссылку не смотрел. Но понял, что они сплющиватся "везде". Т.е. на любом отрезке пути рано или поздно становится какое угодно большое количество шаров.

[bondkim137]

Munin в сообщении #966513 писал(а):

(Что интересно, если не бросать шары, а спускать верёвочку с мерными делениями, то такой верёвочки до горизонта событий уложится конечная длина. Но наблюдатель у верхнего конца верёвочки этого не увидит: он увидит, что нижний конец верёвочки ещё не достиг $r_g.$)

так будет, если веревочку бросить и если она умеет растягиваться.
если же ее спускать с постоянной скоростью и растягиваться она не умеет, то для любой наперед заданной прочности найдется такое расстояние до горизонта, при котором веревочка порвется.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #967038 писал(а):

Но понял, что они сплющиватся "везде". Т.е. на любом отрезке пути рано или поздно становится какое угодно большое количество шаров.

О Диэдр! Как вы себе это представляете? Что, и в $[0;1]$ метрах от бросающего какое угодно большое?

Ну хоть далёкую аналогию рассмотрите. venco уже упомянул степени двойки — добавим движения: рассматривайте множество точек $\{2^{n-t}:n\in\mathbb Z_{\geqslant0}\}\cap[0;1]$ для постепенно растущего $t\in\mathbb R_{\geqslant0}$. Найдите необходимое условие того что отрезок прямой включает сколь угодно большое число точек этого множества при достаточно большом $t$.