Операторный ряд

[demolishka]

Пусть $X$ банахово пространство над полем комплексных чисел, $A: X \to X$ - линейный непрерывный оператор.
Рассмотрим $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}A^k$, где $t \in \mathbb{C}.$ Легко показать, что он сходится по операторной норме.
Нужно доказать, что существует предел $f'(t) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ (понимается в смысле сходимости операторов по операторной норме).

Я могу показать, что для всякой $h_{n} \to 0$ соответствующая последовательность $\frac{f(t+h_n)-f(t)}{h_n}$ фундаментальна. Но из этого вроде как не следует существование предела: мало ли для разных последовательностей $h_n$ получатся разные операторы (или в данном случае такого не может быть?).

[Brukvalub]

demolishka в сообщении #963284 писал(а):

Пусть $X$ банахово пространство над полем комплексных чисел, $A: X \to X$ - линейный непрерывный оператор.
Рассмотрим $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}A^k$, где $t \in \mathbb{C}.$ Легко показать, что он сходится по операторной норме.
Нужно доказать, что существует предел $f'(t) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ (понимается в смысле сходимости операторов по операторной норме).

Я могу показать, что для всякой $h_{n} \to 0$ соответствующая последовательность $\frac{f(t+h_n)-f(t)}{h_n}$ фундаментальна. Но из этого вроде как не следует существование предела: мало ли для разных последовательностей $h_n$ получатся разные операторы (или в данном случае такого не может быть?).

Если на разных послед-стях будут разные пределы, то какой предел будет на последовательности-смеси этих двух?

[demolishka]

Спасибо

[мат-ламер]

Производная как-бы явно вырисовывается. И доказывать сходимость именно к ней.

[ewert]

Для степенных рядов от операторов всё очень мало отличается от случая обычных числовых. В частности, сохраняется понятие "радиуса сходимости": если спектральный радиус оператора меньше его, то ряд сходится (притом равномерно, если с заппасом), если же больше -- то извините. Ну а тут радиус сходимости равен бесконечности, так что о чём и говорить.