2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение16.01.2015, 11:00 


31/03/06
1384
Эта тема навеяна новогодними размышлениями уважаемого vasili.
Идея в том, чтобы заменить уравнение $x^n+y^n=z^n$ сравнением $x^n+y^n \equiv z^n$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n$.
Покажем, что из сравнения $x^n+y^n \equiv z^n$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n$ следует равенство
$x^n+y^n=z^n$, при условии $0<x, y<z$.
В самом деле, $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n>y^n z^n>z^n, x^n y^n$ и $x^n y^n>x^n+y^n$, следовательно $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n>z^n, x^n+y^n$, следовательно $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n>|x^n+y^n-z^n|$.
Таким образом, вместо того, чтобы доказывать, что равенство Ферма невозможно, можно доказывать, что сравнение $x^n+y^n \equiv z^n$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n$ невозможно.

Запишем это сравнение в симметричной форме: $x^n+y^n+z^n \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$, где $x, y>0$, $z<0$.
Идея в том, чтобы выводить из этого сравнения различные следствия.
Например, из этого сравнения следует сравнение $x^{k n}+y^{k n}+z^{k n} \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$, где $k$ - любое целое положительное число, не делящееся на $3$.
Также следует сравнение $(x z)^{k n}+(y z)^{k n}+(x y)^{k n} \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$ , где $k$ - любое целое положительное число, не делящееся на $3$.
Если найдёте какие-то ещё следствия, просьба записывать в этой теме.

-- Пт янв 16, 2015 11:38:49 --

Я вижу ещё одно следствие: $x^{3 n} \equiv y^{3 n} \equiv z^{3 n}$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$.
Поскольку мы показали, что равенство $x^n+y^n+z^n=0$ является следствием сравнения $x^n+y^n+z^n \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$, то при выводе следствий из этого сравнения можно использовать равенство $x^n+y^n+z^n=0$.

-- Пт янв 16, 2015 11:49:01 --

Можно также использовать равенство $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n=(x y)^n-z^{2 n}=(x z)^n-y^{2 n}=(y z)^n-x^{2 n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение16.01.2015, 12:58 


10/08/11
671
Феликс Шмидель в сообщении #963014 писал(а):
В самом деле, $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n>y^n z^n>z^n, x^n y^n$ и $x^n y^n>x^n+y^n$,

Уважаемый Феликс Шмидель!
У Вас здесь опечатка. Хотя, нет ее. Просто прочитал не так как надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение16.01.2015, 13:58 


10/08/11
671
Феликс Шмидель в сообщении #963014 писал(а):
следовательно $x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n>|x^n+y^n-z^n|$.

Уважаемый Феликс Шмидель!
При заданном условии $0<x,y<z$, это очевидно и не требуется столь подробного доказательства. Однако, как вытекает из этого упомянутое равенство не совсем понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение16.01.2015, 17:10 


15/12/05
754
Феликс Шмидель в сообщении #963014 писал(а):
Например, из этого сравнения следует сравнение $x^{k n}+y^{k n}+z^{k n} \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$, где $k$ - любое целое положительное число, не делящееся на $3$.
Также следует сравнение $(x z)^{k n}+(y z)^{k n}+(x y)^{k n} \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$ , где $k$ - любое целое положительное число, не делящееся на $3$.
Если найдёте какие-то ещё следствия, просьба записывать в этой теме.

Вопрос по этому сообщению. Чем вызвано ограничение для $k$ Почему не делящееся на 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение16.01.2015, 17:48 


31/03/06
1384
ananova в сообщении #963192 писал(а):
Вопрос по этому сообщению. Чем вызвано ограничение для $k$ Почему не делящееся на 3?

Потому что $x^{3 t n}+y^{3 t n}+z^{3 t n} \equiv 3 x^{3 t n}$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$, в силу сравнений $x^{3 n} \equiv y^{3 n} \equiv z^{3 n}$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$.
Следовательно, $x^{3 t n}+y^{3 t n}+z^{3 t n} \not \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$.
Если же $k$ не делится на $3$, то $x^{k n}+y^{k n}+z^{k n} \equiv 0$ по модулю $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$ в силу равенства $S_k=a S_{k-1}-b S_{k-2}+c S_{k-3}$, где $S_k=x^{k n}+y^{k n}+z^{k n}, a=x^n+y^n+z^n, b=x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n, c=x^n y^n z^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение16.01.2015, 18:50 


15/12/05
754
Спасибо!
Добавлю еще следующее
Если функция Эйлера числа $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$ не делится на простое число $n$, то существует число $d$ : $x^{nd} \equiv x$, $y^{nd} \equiv y$, $z^{nd} \equiv z$. Что, возможно, поможет свести исходное сравнение к сравнению и равенству (противоречащему основным арифметическим ограничениям): $x+y-z \equiv 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение17.01.2015, 06:43 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель! Мне кажется Вы допустили не точность, утверждая, что

$Z^{3n}\equiv Y^{3n}\equiv X^{3n}\mod (Z^nX^n +Z^nY^n -X^nY^n)\engo(1)$,

при условии, что $X^n + Y^n-Z^n = 0$.

(Числа Z, X, Y натуральные)

Контр пример. Преобразуем модуль для $ n=5$

$Z^5X^5 +Z^5Y^5-X^5Y^5 =Y^5(Z^5-X^5) +Z^5X^5 = (Y^5)^2 +Z^5X^5$

Пусть $X^5 + Y^5 -Z^5 =0$

и Пусть

$(Z^5)^3-(X^5)^3\equiv 0\mod (Y^5)^2 +Z^5X^5$

Преобразуем левую часть последнего сравнения

$(Z^5)^3-(X^5)^3 = (Z^5-X^5)[(Z^5-X^5)^2 + 3Z^5X^5] =


=Y^5[(Y^5)^2 + 3Z^5X^5]\equiv 0\mod [(Y^5)^2 + +Z^5X^5]$


Очевидно последнее сравнение ошибочно, а значит и (1) ошибочно

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение17.01.2015, 08:47 


31/03/06
1384
vasili в сообщении #963489 писал(а):
Уважаемый Феликс Шмидель! Мне кажется Вы допустили не точность, утверждая, что

$Z^{3n}\equiv Y^{3n}\equiv X^{3n}\mod (Z^nX^n +Z^nY^n -X^nY^n)\engo(1)$,

при условии, что $X^n + Y^n-Z^n = 0$.


Уважаемый vasili! Я утверждал не это, а следующее:

$Z^{3n}\equiv Y^{3n}\equiv X^{3n}\mod (Z^nX^n +Z^nY^n+X^nY^n)\engo(1)$,

при условии, что $X^n + Y^n+Z^n = 0$.

Это отличается от того, что Вы написали, поскольку если подставить $-Z$ вместо $Z$ получим:

$-Z^{3n}\equiv Y^{3n}\equiv X^{3n}$.

-- Сб янв 17, 2015 09:13:23 --

ananova в сообщении #963263 писал(а):
Если функция Эйлера числа $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$ не делится на простое число $n$, то существует число $d$ : $x^{nd} \equiv x$, $y^{nd} \equiv y$, $z^{nd} \equiv z$.

Это не очень интересно, потому что из равенств $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n=(x y)^n-z^{2 n}=(x z)^n-y^{2 n}=(y z)^n-x^{2 n}$ следует, что среди простых делителей $p$ числа $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n$ есть такие, что $p-1$ делится на $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение17.01.2015, 09:25 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель! У Вас показатель степени n -простое нечетное число? Если этот показатель четный, то уравнение
$X^n + Y^n + Z^n = 0$ не имеет отношения к уравнению ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение17.01.2015, 09:33 


31/03/06
1384
vasili в сообщении #963505 писал(а):
Уважаемый Феликс Шмидель! У Вас показатель степени n -простое нечетное число? Если этот показатель четный, то уравнение
$X^n + Y^n + Z^n = 0$ не имеет отношения к уравнению ВТФ.


$n$ - нечётное простое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение17.01.2015, 10:36 


31/03/06
1384
Я продолжу развивать тему.
Поскольку $x^n z^n+y^n z^n+x^n y^n=(x y)^n-z^{2 n}=(x z)^n-y^{2 n}=(y z)^n-x^{2 n}$, то возможно числа $x y-z^2$ и $x z - y^2$ имеют общие делители.
Наша цель показать, что эти числа не имеют общих делителей.
Это легко установить для $n=3$, но в этом случае из этого не следует невозможность равенства $(x y)^n-z^{2 n}=(x z)^n-y^{2 n}$.
Если же $n>3$, то у меня есть идея как превратить доказательство отсутствия общих делителей у чисел $x y-z^2$ и $x z - y^2$ в доказательство невозможности равенства $(x y)^n-z^{2 n}=(x z)^n-y^{2 n}$.
Мы не будем пока озвучивать эту идею.
Попытаемся доказать, что числа $x y-z^2$ и $x z - y^2$ не имеют общих делителей, что для $n>3$ сделать непросто.
Пусть $n=5$ (наши последующие рассуждения можно будет обобщить для $n \equiv -1$ по модулю $6$).
Предположим, что числа $x y-z^2$ и $x z - y^2$ делятся на простое число $p$.
Числа $x y-z^2$ и $x z - y^2$ делятся на одинаковую степень числа $p$, в силу равенства $(x y)^n-z^{2 n}=(x z)^n-y^{2 n}$.
Пусть $p^t$ - максимальная степень $p$ на которую делятся числа $x y-z^2$ и $x z - y^2$.
Тогда $(x y-z^2)-(x z - y^2)=(y-z)(x+y+z)$ делится на $p^t$.
Следовательно, $x+y+z$ делится на $p^t$, поскольку если $y-z$ делится на $p$, то $x \equiv y \equiv z$ по модулю $p$, что невозможно, в силу равенства $x^n+y^n+z^n=0$.
Следовательно, $x z+y z+x y$ делится на $p^t$, поскольку $x y-z^2$ делится на $p^t$.
Обозначим: $a=x+y+z, b=x z+y z+x y, c=x y z$.
Мы показали, что числа $a$ и $b$ делятся на $p^t$.

Покажем, что число $b$ делится на $p^{2 t}$.
Для этого воспользуемся тождеством:
(I) $x^5+y^5+z^5=a^5-5 a^3 b+5 a^2 c+5 a b^2-5 b c$

Левая часть этого тождества равна нулю по предположению о том, что уравнение Ферма имеет решения.
Поскольку числа $a$ и $b$ делятся на $p^t$, то $5 b c$ делится на $p^{2 t}$.
Следовательно $b$ делится на $p^{2 t}$ (при условии, что $p \ne 5$).
Что и требовалось.

Число $a$ делится на $p^t$, но не делится на $p^{t+1}$, иначе число $x y-z^2$ делилось бы на $p^{t+1}$.
Из тождества (I) следует, что $b$ делится на $p^{2 t}$, но не делится на $p^{2 t+1}$.

Продолжение следует.

-- Сб янв 17, 2015 11:10:43 --

Я написал программу на UBASIC, которая генерирует тождества типа (I):

Код:
  10   print "Please enter the power p of the sum x^p+y^p+z^p"
   20   input P
   30   for J=P to 0 step -1
   40   for K=P to 0 step -1
   50   for M=P to 0 step -1
   60   if J+2*K+3*M<>P then next M:next K:next J:goto 600
   70   F1=1
   80   for I=2 to J+K+M-1
   90   F1=F1*I
  100   next I
  110   F2=1
  120   for I=2 to J
  130   F2=F2*I
  140   next I
  150   F3=1
  160   for I=2 to K
  170   F3=F3*I
  180   next I
  190   F4=1
  200   for I=2 to M
  210   F4=F4*I
  220   next I
  230   D=int(P*F1/(F2*F3*F4))
  240   if J=P and K=0 and M=0 then print "a^";mid(str(P),2,10000);" ";:goto 500
  250   if K<>2*int(K/2) then print "- "; else print "+ ";
  260   print mid(str(D),2,10000);" ";
  268   if J=1 then print "a ";
  270   if J>1 then print "a^";mid(str(J),2,10000);" ";
  278   if K=1 then print "b ";
  280   if K>1 then print "b^";mid(str(K),2,10000);" ";
  288   if M=1 then print "c ";
  290   if M>1 then print "c^";mid(str(M),2,10000);" ";
  500   next M
  510   next K
  520   next J
  600   print
  700   end


Я написал эту программу давно и сейчас не совсем понимаю, как она работает, но она генерирует тождества типа (I) исправно.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение17.01.2015, 16:17 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель! Мне не известно, кто нашел такую

форму записи уравнения ВТФ, как Вы предлагаете, а именно:

$X^n + Y^n + Z^n = 0$

Эта запись мне кажется не удачной так как:

1. Она бессмысленна при числах $X,Y.Z$ одного знака (положительных или отрицательных).
2. Требует от автора выбора знаков чисел (у Вас $X >0$, $Y> 0$ и $Z < 0$), а от читателя запомнить эти условия.
3. Всякий раз указывать, что n - простое нечетное число.

Не следует ли нам (участникам форума) воспользоваться известным положением о том,

что ВТФ будет доказана, если будет доказано, что уравнение

$X^P + Y^P-Z^P = 0$

не имеет решения в натуральных, попарно взаимно простых, числах,

где $P >2$?.

А теперь о Ваших размышлениях по поводу общего делителя чисел
$Z^2-XY$, $Y^2 + ZX$ и $X^2 + ZY$,

где $Z,X,Y$ - натуральные числа.

Пусть существует простой такой делитель $P_3 > 3$,

$Z^2-XY\equiv 0\mod P_3\engo(1)$,

$Y^2 + ZX\equiv 0\mod P_3\engo(2)$

В силу примитивности Решения из (1) и (2) следует, что

$(ZXY, P_3) = 1\engo(3)$

Из сравнения (1) вычтем сравнение (2)

$(Z + Y)(Z -Y -X)\equiv 0\mod P_3\engo(4)$

Проанализируем сравнение (4)

1.Пусть $Z + Y \equiv 0 \mod P_3\engo(5)$,

тогда из (1) следует, что

$Z + X\equiv 0\mod P_3\engo(6)$.,

Благодаря (5) и (6) будут справедливы

$Z^P + Y^P\equiv 0\mod P_3$,

$Z^P +X^P\equiv 0\mod P_3$

Сложим последние сравнения

$(X^P+Y^P) + 2 Z^P = 3Z^P\equiv 0\mod P_3$,

что в силу (3) не возможно,. Пришли к Противоречию.

Значит сравнения (5) и (:6) не возможны.

2. Пусть теперь $X + Y-Z\equiv 0\mod P_3$

Вспомним, что благодаря формулам Абеля имеем для степени $P =3$,

2.1. $X + Y-Z = dd_1d_2$,

где $ d, d_1, d_2 $ - делители

чисел $Z, Y,X$ соответственно, а значит благодаря (3)


сравнение $dd_1d_2\equiv 0\mod P_3$ невозможно..

Пришли к Противоречию. Следовательно, не существует такого $P _3$, который был бы

общим делителем чисел $Z^2-XY$, $Y^2 + ZX$, $X^2 + ZY$,

2.2. Для степеней $P >3$

$X + Y-Z = K_0dd_1d_2,  

где 

$K_0$

нечетное число и    

$(ZXY, K_0) = 1$

$K_0dd_1d_2\equiv 0\mod P_3$

$K_0\equiv 0\mod P_3\engo(7)$

Следует доказать, что сравнение (7) не справедливо. Продолжение следует…

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение18.01.2015, 09:57 


31/03/06
1384
vasili в сообщении #963592 писал(а):
Уважаемый Феликс Шмидель! Мне не известно, кто нашел такую

форму записи уравнения ВТФ, как Вы предлагаете, а именно:

$X^n + Y^n + Z^n = 0$

Эта запись мне кажется не удачной так как:

1. Она бессмысленна при числах $X,Y.Z$ одного знака (положительных или отрицательных).
2. Требует от автора выбора знаков чисел (у Вас $X >0$, $Y> 0$ и $Z < 0$), а от читателя запомнить эти условия.
3. Всякий раз указывать, что n - простое нечетное число.


Уважаемый vasili!

Позвольте с Вами не согласиться.
Пункт 3. это обычное условие: никто обычно не рассматривает уравнение Ферма сразу для всех степеней $n$.
Если принять пункт 2, то пункт 1 отпадает.
Таким образом из всех пунктов остаётся только пункт 2, что из чисел $X, Y, Z$ только число $Z$ отрицательно.
Форма $X^n + Y^n + Z^n = 0$ используется для симметрии, которая обладает полезными свойствами.
Например, симметрический многочлен $S_n=X^n + Y^n + Z^n$ удовлетворяет рекуррентной формуле Ньютона: $S_k=a S_{k-1}-b S_{k-2}+c S_{k-3}$, где $a=x+y+z, b=x z+y z+x y, c=x y z$.

Кроме того, кто как хочет, так и ... доказывает ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение18.01.2015, 12:45 


10/08/11
671
1. В данной теме я не увидел, что квадраты отделены от других степеней по каким-то особым признакам. Поэтому если найдутся противоречия, то они будут относиться и к квадратам.
2. Кроме того, вывод, что из соотношения $$x^n z^n+y^n z^n-x^n y^n>|x^n+y^n-z^n|$$ вытекает равенство $x^n+y^n-z^n=0$ только для целых чисел тройки $x,y,z$ , - ошибочный. Контрпример: $$9^3+10^3=7\cdot13\cdot19$$ То есть $z^3=7\cdot13\cdot19$ -целое число. И все соотношения справедливы для данного случая, что и опровергает главное утверждение о существовании упомянутого равенства. Поэтому если и найдутся в дальнейшем какие-либо противоречия, они будут доказывать, что не существует решений УФ ни в целых ни в иррациональных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение18.01.2015, 13:29 


27/03/12
449
г. новосибирск
Продолжение.

Пусть справедливо сравнение $K_0\equiv 0\mod P_3$, тогда справедливо и

$X + Y-Z\equiv 0\mod P_3$ , отсюда

$X\equiv Z -Y\mod P_3$,

$Y\equiv Z-X\mod P_3$,

$X^2 + ZY\equiv (Z-Y)^2 + ZY\equiv 0\mod P_3$,

$Y^2 + ZX\equiv (Z-X) ^2 + ZX\equiv 0\mod P_3$,

$Z^3 + X^3 = (Z + X) [(Z-X)^2 +ZX]\equiv 0\mod P_3$,

$Z^3 + Y^3 = (Z + Y) [(Z-Y) ^2 +ZY]\equiv 0\mod P_3$.


1.Пусть $P_3 = 6n + 5$

Благодаря Малой теореме Ферма имеем

$Z^{6n + 4}-X^{6n +4} = (Z^3)^{2n + 1}Z-(X^3)^{2n +1}X\equiv 0\mod P_3$
и
$Z^{6n + 4}-Y^{6n +4} = (Z^3)^{2n + 1}Z-(Y^3)^{2n +1}Y\equiv 0\mod P_3$,

отсюда

$Z + X\equiv 0\mod P_3$
и
$Z + Y\equiv 0\mod P_3$ соответственно.

Противоречивость этих сравнений показана раньше.

Следовательно, $P_3$ не может быть простым число вида $6n + 5$.

2. Пусть $P_3 = 6n +1$ и

пусть для определенности $(Y,  P) =1$ и (формулы Абеля)

$Y = U_1d_1$, $Z-X = d_1^P = C_1d_1$, где $C_1 = d_1^{P-1}$, а

$U_1^P =Z^{P-1} + Z^{P-2}X +….+ZX^{P-2} + X^{P-1}$, а

после преобразования правой части равенства получим

$U_1^P  = (Z-X)^{P-1} +PZX(Z-X)[(Z-X)^2 +ZX]^2 M $,

Обратим внимание, что

$(Z-X)^{P-1} = C_1^{P-1}d_1^{P-1} = C_1^P$, тогда

$U_1^P -C_1^P = PZX(Z-X)[(Z-X)^2 + ZX]^2 M$.

$(U_1 -C_1)M_1= PZX(Z-X)[(Z-X)^2 + ZX]^2 M\engo(A)$.


Из равенства $Y + X -Z = U_1d_1-(Z-X) =U_1d_1-C_1d_1 =  K_0dd_1d_2$

После сокращения на $d_1$ имеем

$U_1 - C_1 = K_0dd_2$, отсюда

$U_1 -C_1\equiv 0\mod P_3$, так как

$(U_1- C_1, ,M_1) = 1$ или

$(U_1-C_1, M_1) = P$ (1 случай ВТФ), то

$(M_1, P_3) = 1$.

Сравним равенство (A) по модулю $P_3^2$ получим

$U_1-C_1\equiv 0\mod P_3^2$, отсюда

$K_0\equiv 0\mod P_3^2$, что

Противоречит сравнению(7).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group