Диофантовы наборы

[scwec]

Докажите, что система уравнений $9x+1=r^2,9-x=s^2,80x+9=t^2$ имеет бесконечно много решений в рациональных числах.
Найдите хотя бы одно решение $x\ne{0}$

[hippie]

scwec в сообщении #963139 писал(а):

Найдите хотя бы одно решение $x\ne{0}$

$r=\frac{24601}{6989},\ s=\frac{19437}{6989},\ t=\frac{73383}{6989}.$

[maxal]

scwec в сообщении #963139 писал(а):

Докажите, что система уравнений $9x+1=r^2,9-x=s^2,80x+9=t^2$ имеет бесконечно много решений в рациональных числах.
Найдите хотя бы одно решение $x\ne{0}$

Эта система равносильна сводится к однородному уравнению $82t^2 - s^2 - 729r^2 = 0$, которое легко решается в рациональных числах и имеет бесконечно много решений.

[scwec]

Вот еще одно:
$x=-\frac{61818120}{598340521},r=\frac{6479}{24461},s=\frac{73803}{24461},t=\frac{20967}{24461}$.
hippie, тут ведь интересно, как решения получаются. Поделитесь.

-- Пт янв 16, 2015 20:19:07 --

maxal, в начальном варианте условие выглядело так. Дана диофантова тройка $(s,-1/s,(s^2-1)/s)$. При каком наименьшем натуральном $s\ne{1}$ она вкладывается в диофантову четверку. Но она показалась мне сложноватой и формулировка изменилась.
Наверное, сильно упростил. Начиная с $s=9$ возможно вложение, но, конечно, не при всех $s$. Возникает последовательность натуральных чисел и в OEIS её нет.

[grizzly]

maxal в сообщении #963271 писал(а):

scwec в сообщении #963139 писал(а):

Докажите, что система уравнений $9x+1=r^2,9-x=s^2,80x+9=t^2$ имеет бесконечно много решений в рациональных числах.
Найдите хотя бы одно решение $x\ne{0}$

Эта система равносильна однородному уравнению $82t^2 - s^2 - 729r^2 = 0$, которое легко решается в рациональных числах и имеет бесконечно много решений.

Я только учусь диофантовым уравнениям. Объясните мне, пожалуйста, в каком смысле здесь понимается равносильность? Вот, например, тройка $r=s=t=0$ решает однородное уравнение, но не систему. Или это "равносильность" с учётом каких-то внутренних преобразований, которые специалистам настолько видны по умолчанию, что и вопросов не возникает? (Может, старые переменные заменены на какие-то другие новые, но названия сохранены для удобства.)
Спасибо.

UPD. Ну да, в одну сторону действительно очевидно: если уравнения системы подставить в однородное, то всё нормально. В другую пока не могу сообразить.

[nnosipov]

maxal в сообщении #963271 писал(а):

Эта система равносильна однородному уравнению $82t^2 - s^2 - 729r^2 = 0$, которое легко решается в рациональных числах и имеет бесконечно много решений.

Там же эллиптическая кривая, откуда возьмётся рациональная параметризация?

В общем, натыкал я с помощью компьютера какую-то рациональную точку, но размножать её было лень. Решил отложить это развлечение на завтра :)

-- Сб янв 17, 2015 00:36:19 --

grizzly в сообщении #963278 писал(а):

В другую пока не могу сообразить.

Чудес не бывает: должна быть система из двух уравнений (пересечение двух поверхностей даст кривую).

[scwec]

Имелась в виду эллиптическая кривая $y^2=X^3+(s^2+1/s^2)X^2+X$ в данном случае при $s=9$.

[nnosipov]

У меня что-то другое получилось, но это не важно. Важно то, что я попал в точку конечного порядка. А это нехорошо.

[maxal]

nnosipov в сообщении #963291 писал(а):

Там же эллиптическая кривая, откуда возьмётся рациональная параметризация?

У упомянутого мной уравнения рациональная параметризация, конечно же, есть. Только я потерял еще одно уравнение типа $r^2+9s^2=82$ -- но у системы двух уравнений параметризации уже нет. Зато эта система, действительно, становится эквивалентна эллиптической кривой. При желании можно и все её целые решения найти - см. теорему 6 в http://arxiv.org/abs/1002.1679

grizzly, с "равносильно" я погорячился (потеряв второе уравнение), но можно заменить это слово на "сводится к"

[scwec]

nnosipov в сообщении #963311 писал(а):

Важно то, что я попал в точку конечного порядка. А это нехорошо.

Рациональную точку бесконечного порядка можно получить в PARI-GP.
Для кривой, приведенной мной выше это:

E=ellinit([0,81+1/81,0,1,0]);
ellgenerators(E)

Конечно, если ранг кривой не ноль.
Если ранг ноль, выдаст две скобки []

[maxal]

scwec в сообщении #963272 писал(а):

Начиная с $s=9$ возможно вложение, но, конечно, не при всех $s$. Возникает последовательность натуральных чисел и в OEIS её нет.

Добавьте, пожалуйста!

[scwec]

Пояснение относительно того, откуда взялась эллиптическая кривая $y^2=x^3+(s^2+1/s^2)x^2+x$ и какая от неё польза.
Пусть $\{s,-1/s,(s^2-1)/s\}$, ($s\ne{1}$ натуральное число) - рациональная диофантова тройка. Попытаемся расширить её до диофантовой четверки.
Для этого нужно найти рациональное число $X\ne{0}$, так, чтобы три числа $Xs+1,-X/s+1,Xs-X/s+1$ были квадратами.
Тогда $(Xs+1)(-X/s+1)(Xs-X/s+1)=Y^2\qquad(1)$, где $Y$ рациональное число. $(1)$ - уравнение эллиптической кривой.
Заменой $X=\frac{s(x+1)}{(1-s^2)}$ кривая $(1)$ превращается в эквивалентную ей $y^2=x^3+(s^2+1/s^2)x^2+x\qquad(2)$.
Эта кривая имеет 8 рациональных точек конечного порядка $[-1,\pm\frac{s2-1}{s}],[1,\pm\frac{s2+1}{s}],[-\frac{1}{s^2},0],[-s^2,0],[0,0],\infty$.
Рациональные точки бесконечного порядка могут на ней быть, могут не быть. Это зависит от ранга кривой $(2)$.
Если ранг положительный, таких точек на кривой бесконечно много, если равен нулю, таких точек нет.
В первой сотне натуральных чисел $s$ 62 кривых $(2)$ имеют ранг больше нуля и наименьшее значение $s=9$. (Это число и появилось в условии задачи).
Легко посчитать, что для точек конечного порядка числа $Xs+1,-X/s+1,Xs-X/s+1$ не являются квадратами.
Значит, из рассмотрения выпадают кривые с нулевым рангом. Так, если взять $s=4$, то система уравнений $4X+1=u^2,4-X=v^2,15X+4=w^2$ не имеет решений в рациональных числах.
На каждой кривой $(1)$ с ненулевым рангом бесконечно много рациональных точек, для которых числа $Xs+1,-X/s+1,Xs-X/s+1$ являются квадратами.
Эти точки получаются суммированием всех удвоенных рациональных точек с одной из двух точек $[0,\pm{1}]$, причем X-координаты этих точек не равны $0,s,-1/s,(s^2-1)/s$.
Возможен следующий порядок вычисления $X$:
1. Найти рациональную точку $P$ бесконечного порядка на кривой $(2)$.
2. Если точка не является удвоенной, то удвоить её и найти точку $2P$.
3. Сложить точки $2P$ и $[-1,\pm{(s^2-1)/s]}$ и получить точку $P1$.
(Точки $[-1,\pm{(s^2-1)/s]}$ на $(2)$ соответствуют точкам $[0,\pm{1}]$ на $(1)$).
4. Взять x-координату точки $P1$ и вычислить $X=s(x+1)/(1-s^2)$.
Если $X\ne{0},s,-1/s,(s^2-1)/s$,(равенство совершенно невероятно, учитывая теорему Пуанкаре-Гурвица о плотности рациональных точек на связной компоненте эллиптической кривой при наличии на ней хотя бы одной рациональной точки бесконечного порядка) то $X$ - искомое число.
Если имеет место равенство, выбрать другую рациональную точку на $(2)$ и и повторить п.п.2-4.
Замечу, что все эти действия можно совершить с помощью PARI-GP.
Во всяком случае, приведенное мной выше решение для $s=9$ найдено именно так.

1.gp > E=ellinit([0,81+1/81,0,1,0]);
gp > ellgenerators(E)
%4 = [[-289/81, 7616/243]]
2.gp > elladd(ellinit([0,1/81+81,0,1,0]),[-289/81,7616/243],[-289/81,7616/243])
%5 = [5784025/165173904, -778241937005/2122815014208]
3.gp > elladd(ellinit([0,1/81+81,0,1,0]),[5784025/165173904,-778241937005/2122815014208],[-1,80/9])
%6 = [-48846121/598340521, -89118069146480/131724067357629]

(Если заменить в п.3 $80/9$ на $-80/9$, то получим решение hippie)
Далее выполняется п.4 и находится $X$.

Относительно расширения рациональной диофантовой тройки $\{s-1/s,(s^2-1)/s\}$ до диофантовой четверки, из вышеизложенного следует, что это возможно тогда и только тогда, когда ранг кривой $(2)$ больше нуля.