Параллельный перенос

[loshka]

Здравствуйте.
Читаю книжку Мищенко Фоменко по дифф гему и не могу понять один момент. Они рассматривают двухмерное гладкое многообразие вложенное в трехмерное евклидово, отмечают две точки на многообразии $P , Q$ и берут вектора в этих точках и хотят проверить параллельны ли они, как я понимаю вектора обязаны находится в касательных пространствах, но как они задаются мне абсолютно непонятно, ведь вектор получается находится в $R^3$ значит нужны 3 числа что бы его определить, и почему бы нельзя просто сравнить по компонентам, даже бог с ним с $R^3$ не понятно как определяется вектор к точке принадлежащей гладкому многообразию(получается многообразие должно быть вложено в какое-то пространство и в нем будет находится этот вектор)

[VanD]

loshka в сообщении #961262 писал(а):

не понятно как определяется вектор к точке принадлежащей гладкому многообразию(получается многообразие должно быть вложено в какое-то пространство и в нем будет находится этот вектор)

Чтобы определять касательный вектор к многообразию не обязательно его вкладывать в $\mathbb R^N$. Его определение устроено так, что пока многообразие не вложено в $\mathbb R^N$, касательный вектор будет абстрактным (это не направленный отрезок, а вектор в том смысле, что он элемент линейного пространства). После того, как Вы вложите ваше многообразие в $\mathbb R^N$ ему будет соответствовать касательный к $\mathbb R^N$ вектор, в который тот перейдёт под действием дифференциала вложения. При этом касательный к $\mathbb R^N$ вектор тоже будет абстрактным, но если дальше Вы хотите делать только линейные преобразования $\mathbb R^N$, то его можно не различать с направленным отрезком.

[loshka]

вот просто тогда не понятно, в случае двухмерного многообразия вложенного в $R^3$ тогда касательный вектора будет определен тройкой чисел и вопрос о параллельности будет стоять просто о сравнение этих чисел, зачем тогда нужен параллельный перенос ?
Даже в общем случае если $M^n$ вложено в $R^N$ то вектора существует в $R^N$ и тогда почему бы просто не сравнивать их компоненты зачем нужны такие примудрствования в виде параллельного переноса?

[VanD]

Нет гарантий, что даже если Вы вложите многообразие в $\mathbb R^N$ с глобальной координатной картой, то вектора с формально одинаковыми компонентами но разными точками приложения, будут оба касаться образа вложения исходного многообразия. Так что просто проверка совпадения компонент не канает, кроме случая, когда исходное многообразие и есть $\mathbb R^N$ и связность на нём евклидова. Да и не удобно постоянно искать вложения для всех случаев.
Вообще параллельный перенос вдоль кривой определяется дополнительной стркутурой на многообразии - связностью.

loshka в сообщении #961262 писал(а):

как я понимаю вектора обязаны находится в касательных пространствах

Да, но эти пространства разные, так что эти вектора - элементы разных линейных пространств.

[loshka]

просто до меня никак не может дойти этот момент, касательное пространство оно существует вне многообразия(только касается его), значит многообразие уже во что-то вложено или такой ход мысли неверен?

[provincialka]

Неверен. Это просто "наследие" нашего опыта: ведь невложенных пространств мы не видели.

[loshka]

хитро это как-то все выглядит, спасибо за помощь

[Munin]

loshka в сообщении #961291 писал(а):

просто до меня никак не может дойти этот момент, касательное пространство оно существует вне многообразия(только касается его), значит многообразие уже во что-то вложено или такой ход мысли неверен?

Есть такая конструкция (тоже из дифференциальной геометрии, но из более дальних глав):

Возьмём (гладкое) многообразие. Возьмём его точку $x\in M.$ Пририсуем к этой точке (как к началу координат) линейное пространство такой же размерности, и назовём его касательным пространством (для этого, договоримся, что малые шаги в стороны по многообразию, в точки $x+dx,$ согласованы с этим касательным пространством по направлениям и числовым коэффициентам). Всё это можно воображать себе вложенным в какое-то объемлющее пространство, как обычную искривлённую поверхность, и касательную к ней в точке плоскость. Но это только для помощи воображению: в самой конструкции у нас есть только многообразие и пристроенное к нему линейное пространство.

Дальше, повторим ту же самую процедуру с каждой точкой многообразия. У нас получится такая конструкция: многообразие как "основа" (база), а из каждой точки растёт ещё одно пространство. Такая конструкция называется расслоение (по-английски fiber bundle, что больше похоже на щётку или посудный ёршик). Расслоения - новый тип пространств, для них строится своя теория дифференциальной геометрии (раздел "дифференциальной геометрии" в широком смысле). В данном случае, мы имеем так называемое касательное расслоение - расслоение, в котором каждый слой есть касательное пространство. От слоя к слою можно переходить не только через нулевые точки: между ними есть функции перехода (связность), позволяющие встать на любую точку слоя, и посмотреть, какая точка соответствует ей в "соседнем" слое, возведённом над точкой $x+dx.$

Так вот, чтобы работать с касательными пространствами и параллельными переносами, достаточно полностью задать на многообразии структуру касательного расслоения, и не надо ни во что ещё это многообразие вкладывать.

[Утундрий]

Всё это, конечно, очень инвариантно, но я бы не советовал так уж с порога пренебрегать простыми и понятными радостями параллельного переноса в плоском объемлющем пространстве. Прыгание через несколько ступенек может быть чревато боком.

[maxmatem]

Возьмите книгу Громол "дифференциальная геометрия вцелом" но только после Фоменко . Возможно многое прояснится после того как поймет что такое связность на меогообразии.

[Munin]

Утундрий в сообщении #961559 писал(а):

Всё это, конечно, очень инвариантно, но я бы не советовал так уж с порога пренебрегать простыми и понятными радостями параллельного переноса в плоском объемлющем пространстве.

Да, это хороший вспомогательный образ. Если помнить, что он вспомогательный.

[Утундрий]

Не помнить, а понимать. А понимания, в свою очередь, не будет без попыток, которые вы почему-то стараетесь зарубить на корню.

[Munin]

Вот уж чего не делал. Напротив, зову вперёд - и в эти попытки, и в более дальние.