Свойства степенных рядов

[Nurzery[Rhymes]]

Есть такое утверждение: степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке вида $[-r;r] \subset (-R; R)$ внутри интервала сходимости. А почему, собственно, кому-то пришло в голову доказывать это, да еще и использовать теорему о мажорировании? Человек просто получал удовольствие от доказательства?

Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$, то он сходится в любой точке этого отрезка. Отрезок $[-r;r]$ - множество таких точек. Значит, на любом таком отрезке ряд сходится. Зачем еще что-то говорить?

[provincialka]

Я эту теорему видела в другом виде: сходится равномерно на любом отрезке, входящем в область сходимости. Например, если сходится на $(-2;2]$, то равномерно на $[-1,99; 2]$. А для симметричной области сходимости, действительно, все банально.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #961426 писал(а):

Я эту теорему видела в другом виде: сходится равномерно на любом отрезке, входящем в область сходимости. Например, если сходится на $(-2;2]$, то равномерно на $[-1,99; 2]$. А для симметричной области сходимости, действительно, все банально.

А, то есть симметричность этого маленького отрезка - необязательное условие?

[provincialka]

Не предполагается симметричность ни отрезка, ни области сходимости. Это полезная теорема, когда надо исследовать поведение ряда на конце области сходимости.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):

Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$, то он сходится в любой точке этого отрезка. Отрезок $[-r;r]$ - множество таких точек. Значит, на любом таком отрезке ряд сходится. Зачем еще что-то говорить?

Затем, что из поточечной сходимости равномерная не следует.

[demolishka]

Степенной ряд не обязан сходится равномерно на всем интервале сходимости - на нем он сходится лишь абсолютно. И тем более радиус сходимости бывает симметричным только в нуле. А вы сформулировали утверждение вида "Если ряд сходится равномерно на множестве $A$, то он сходится равномерно на каждом его подмножестве". Здесь нечего доказывать.

[Nurzery[Rhymes]]

Оказывается, как глубоко уводит такая маленькая теорема, над которой, кажется, даже думать не надо.

[Brukvalub]

Забавно выглядит вот это:

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):

...
Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$..

Отрезок с интервалом путать нехорошо!

[Nurzery[Rhymes]]

Brukvalub в сообщении #961448 писал(а):

Забавно выглядит вот это:

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):

...
Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$..

Отрезок с интервалом путать нехорошо!

Там сначала был отрезок :) Потом я поменял квадратные скобки на круглые, а слово поменять забыл.

[demolishka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961447 писал(а):

Оказывается, как глубоко уводит такая маленькая теорема, над которой, кажется, даже думать не надо.

Вы до сих пор не сформулировали правильного утверждения.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):

А почему, собственно, кому-то пришло в голову доказывать это, да еще и использовать теорему о мажорировании?

Потому, что сходимость как таковая, как правило, мало что даёт. Для получения полезных результатов нужна хоть сколько-то квалифицированная. И вот, например, равномерная сходимость даёт (после соотв. приговорок), скажем, право почленно этот ряд дифференцировать; если же в распоряжении была бы лишь просто сходимость, то и вигвам.

[Nurzery[Rhymes]]

demolishka в сообщении #961453 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961447 писал(а):

Оказывается, как глубоко уводит такая маленькая теорема, над которой, кажется, даже думать не надо.

Вы до сих пор не сформулировали правильного утверждения.

У меня в конспекте написано так: степенной ряд $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n x^n$ сходится равномерно на любом отрезке виде $[-r;r] \subset (-R;R)$ внутри интервала сходимости. Правильнее будет сказать, что на любом отрезке, а не только на симметричном?

[Otta]

У Вас в конспекте верно записано, но видимо, Вы не понимаете, что именно там написано, поскольку процитировать до этого правильно Вам ни разу не удалось.

-- 13.01.2015, 22:02 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961463 писал(а):

Правильнее будет сказать, что на любом отрезке, а не только на симметричном?

Без разницы. Это эквивалентные утверждения.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #961466 писал(а):

У Вас в конспекте верно записано, но видимо, Вы не понимаете, что именно там написано, поскольку процитировать до этого правильно Вам ни разу не удалось.

Не понимаю что? Что это утверждение верно только для такого ряда, а не для ряда общего вида $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n (x-x_0)^$?

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961463 писал(а):

У меня в конспекте написано так: степенной ряд $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n x^n$ сходится равномерно на любом отрезке виде $[-r;r] \subset (-R;R)$ внутри интервала сходимости. Правильнее будет сказать, что на любом отрезке, а не только на симметричном?

Первая фраза правильна (с точностью до очипяток), вторая же просто не нужна. Не об этих тонкостях же речь.