2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:22 
Аватара пользователя
Есть такое утверждение: степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке вида $[-r;r] \subset (-R; R)$ внутри интервала сходимости. А почему, собственно, кому-то пришло в голову доказывать это, да еще и использовать теорему о мажорировании? Человек просто получал удовольствие от доказательства?

Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$, то он сходится в любой точке этого отрезка. Отрезок $[-r;r]$ - множество таких точек. Значит, на любом таком отрезке ряд сходится. Зачем еще что-то говорить?

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:25 
Аватара пользователя
Я эту теорему видела в другом виде: сходится равномерно на любом отрезке, входящем в область сходимости. Например, если сходится на $(-2;2]$, то равномерно на $[-1,99; 2]$. А для симметричной области сходимости, действительно, все банально.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:29 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #961426 писал(а):
Я эту теорему видела в другом виде: сходится равномерно на любом отрезке, входящем в область сходимости. Например, если сходится на $(-2;2]$, то равномерно на $[-1,99; 2]$. А для симметричной области сходимости, действительно, все банально.

А, то есть симметричность этого маленького отрезка - необязательное условие?

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:31 
Аватара пользователя
Не предполагается симметричность ни отрезка, ни области сходимости. Это полезная теорема, когда надо исследовать поведение ряда на конце области сходимости.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:34 
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):
Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$, то он сходится в любой точке этого отрезка. Отрезок $[-r;r]$ - множество таких точек. Значит, на любом таком отрезке ряд сходится. Зачем еще что-то говорить?

Затем, что из поточечной сходимости равномерная не следует.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:36 
Аватара пользователя
Степенной ряд не обязан сходится равномерно на всем интервале сходимости - на нем он сходится лишь абсолютно. И тем более радиус сходимости бывает симметричным только в нуле. А вы сформулировали утверждение вида "Если ряд сходится равномерно на множестве $A$, то он сходится равномерно на каждом его подмножестве". Здесь нечего доказывать.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:41 
Аватара пользователя
Оказывается, как глубоко уводит такая маленькая теорема, над которой, кажется, даже думать не надо.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:41 
Аватара пользователя
Забавно выглядит вот это:
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):
...
Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$..
Отрезок с интервалом путать нехорошо! :D

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:42 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #961448 писал(а):
Забавно выглядит вот это:
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):
...
Если ряд сходится равномерно на отрезке $(-R;R)$..
Отрезок с интервалом путать нехорошо! :D

Там сначала был отрезок :) Потом я поменял квадратные скобки на круглые, а слово поменять забыл.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:43 
Аватара пользователя
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961447 писал(а):
Оказывается, как глубоко уводит такая маленькая теорема, над которой, кажется, даже думать не надо.

Вы до сих пор не сформулировали правильного утверждения.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:54 
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961419 писал(а):
А почему, собственно, кому-то пришло в голову доказывать это, да еще и использовать теорему о мажорировании?

Потому, что сходимость как таковая, как правило, мало что даёт. Для получения полезных результатов нужна хоть сколько-то квалифицированная. И вот, например, равномерная сходимость даёт (после соотв. приговорок), скажем, право почленно этот ряд дифференцировать; если же в распоряжении была бы лишь просто сходимость, то и вигвам.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 19:58 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #961453 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961447 писал(а):
Оказывается, как глубоко уводит такая маленькая теорема, над которой, кажется, даже думать не надо.

Вы до сих пор не сформулировали правильного утверждения.

У меня в конспекте написано так: степенной ряд $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n x^n$ сходится равномерно на любом отрезке виде $[-r;r] \subset (-R;R)$ внутри интервала сходимости. Правильнее будет сказать, что на любом отрезке, а не только на симметричном?

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 20:02 
У Вас в конспекте верно записано, но видимо, Вы не понимаете, что именно там написано, поскольку процитировать до этого правильно Вам ни разу не удалось.

-- 13.01.2015, 22:02 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961463 писал(а):
Правильнее будет сказать, что на любом отрезке, а не только на симметричном?

Без разницы. Это эквивалентные утверждения.

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 20:04 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #961466 писал(а):
У Вас в конспекте верно записано, но видимо, Вы не понимаете, что именно там написано, поскольку процитировать до этого правильно Вам ни разу не удалось.


Не понимаю что? Что это утверждение верно только для такого ряда, а не для ряда общего вида $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n (x-x_0)^$?

 
 
 
 Re: Свойства степенных рядов
Сообщение13.01.2015, 20:04 
Nurzery[Rhymes] в сообщении #961463 писал(а):
У меня в конспекте написано так: степенной ряд $\sum\limits_{0}^{\infty}a_n x^n$ сходится равномерно на любом отрезке виде $[-r;r] \subset (-R;R)$ внутри интервала сходимости. Правильнее будет сказать, что на любом отрезке, а не только на симметричном?

Первая фраза правильна (с точностью до очипяток), вторая же просто не нужна. Не об этих тонкостях же речь.

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group