Преобразования координат и инварианты

[Dyaus_Pitar]

Как илил введение из Яглом "Преобразования Галилея и неевклидовы геометрии" . Насколько я понял, в геометрии рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при всевозможных движениях. Т.е. не зависят от выбора СК. Такой подход уже сам по себе не позволяет исследовать в рамках геометрии свойства объектов, зависящие от выбора СК и автоматически он переносится на физику. А что если любой объект является инвариантом и с ним связана АСО? Например угол наклона прямой по отношению к оси не является инвариантной величиной в евклидовой геометрии, при переходе к другой СК он может поменяться. Однако предположим, что он сохраняется и просто нужно поменять геометрию? Пусть при повороте СК угол наклона прямой увеличился в 2 раза. Однако мы принимаем, что он не изменился, относительно второй оси он уменьшился в 1.5 раза, но мы считаем, что он также не изменился, просто градуировка относительно каждой из осей стала своя- пространство стало анизотропных и неоднородным. Т.е. нельзя ли для любого объекта найти такое преобразование пространства, которое оставит этот объект инвариантным? Пусть даже пространство станет неизотропным и неоднородным? - Похоже, что такой путь исследования полностью зарублен Клейновским определением геометрии. Хотя возможно конечно и не зря.

В каждой геометрии существуют выражения для преобразования координат, которые и определяются всевозможными движениями. Чтобы проверить, сохраняется ли какая- либо величина относительно данных преобразований, необходимо просто подставить в выражение для этой величины ее координаты в новой системе отсчёта, выраженные через координаты в старой СО и посмотреть, сохранилась она или нет.
Вопрос заключается в следующем, а существует ли способ не проверять множество величин на их инвариантность, производя каждый раз громоздкие вычисления для каждого объекта, а выявлять эти инварианты с помощью каких либо формул? Например есть в геометрии 10 инвариантов, а всего объектов можно в ней придумать 100 или 10000 или ещё больше, это что же, для каждого нужно выразить его в преобразованных координатах, чтобы выявить его инвариантность?

[provincialka]

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

Насколько я понял, в геометрии рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при всевозможных движениях. Т.е. не зависят от выбора СК.

Никто не мешает рассматривать свойства, зависящие от СК. В конце концов. декартовы координаты - это просто выделенные прямые, можно интересоваться расположением фигур относительно них.

Только надо отдавать себе отчет, что это именно свойства координат.

Инвариантные свойства просто более интересные.

-- 12.01.2015, 01:17 --

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

В каждой геометрии существуют выражения для преобразования координат, которые и определяются всевозможными движениями.

Так любые преобразования или все-таки именно движения?

[arseniiv]

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

А что если любой объект является инвариантом и с ним связана АСО?

А что если любой бред понимать буквально? Не, не выйдет.

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

Например угол наклона прямой по отношению к оси не является инвариантной величиной в евклидовой геометрии, при переходе к другой СК он может поменяться. Однако предположим, что он сохраняется и просто нужно поменять геометрию?

Ну, если геометрия у вас ни с чем не связана, меняйте её как хотите. Иначе придётся потерпеть.

Для чего вы всё это собрались применять? В текущей расплывчатой форме вопрос вряд ли будет кому-то интересным. А если допилите…

[Dyaus_Pitar]

Так вот я и говорю, а нельзя ли все объекты и их свойства, ну или хотя бы выборочно, принимать инвариантными относительно таких преобразований координат, которые не сохраняют однородность, изотропность или геометрию пространств? Это ведь тоже метод исследования - метод поиска нужных геометрией и свойств пространства, однако программа Клейна отвергла такой подход к исследованию и геометрии.

[Aritaborian]

Где вы, а где Клейн, ха. (Нет, понятно, кто где: Феликс Клейн на кладбище, а вы здесь. Лучше бы, конечно, наоборот.)

Toucan:

См. post960333.html#p960333

[provincialka]

Aritaborian Что за кровожадность. Пусть Dyaus_Pitar здравствует.
А еще хорошо бы он привел пример своих объектов и преобразований. Может, его мысль и прояснится.

[Dyaus_Pitar]

Да нет, я так, к слову. Просто мысли разные в процессе прочтения лезут - фантазия разыгралась :)

[provincialka]

Геометрий разных очень много, вплоть до конечных. Можно рассматривать их и без преобразований.
Но если с ними, обычно преобразования образуют группу. И инварианты возникают сами собой.

Но если физики "закажут" что-то этакое, неизотропное -- думаю, математики придумают.

[arseniiv]

Dyaus_Pitar в сообщении #960295 писал(а):

однако программа Клейна отвергла такой подход к исследованию и геометрии.

Ничего никто не отвергал! Никто не запрещает вам на одном и том же множестве рассматривать сколько угодно разных структур. Только будьте аккуратны и не запутайтесь в них, и всё.

[Dyaus_Pitar]

provincialka в сообщении #960283 писал(а):

]

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

В каждой геометрии существуют выражения для преобразования координат, которые и определяются всевозможными движениями.

Так любые преобразования или все-таки именно движения?

Любые преобразования, сохраняющие вид СК и тип геометрии- это и есть движения для СК, однако для объектов, рассматриваемых в рамках этой геометрии и СК эти преобразования движениями могут и не являться. Но можно попытаться подобрать преобразование геометрии и пространства при которых будут осуществляться движения этих объектов.

[Toucan]

Aritaborian в сообщении #960300 писал(а):

Феликс Клейн на кладбище, а вы здесь. Лучше бы, конечно, наоборот.

Aritaborian, строгое предупреждение за недопустимые личные выпады. С учетом многочисленных предыдущих нарушений - 10 дней отдыха.

[provincialka]

Dyaus_Pitar
Ну, подберите. И все-таки движениями принято называть преобразования, сохраняющие расстояния. А для других инвариантов названия другие (например, аффинные, проективные преобразования и т.п.)

[Dyaus_Pitar]

Слышал, что одно время на проективную геометрию возлагались большие надежды, как на кандидата по обобщению различных типов геометрий. Каково сейчас положение дел в этом направлении? Ведутся ли поиски некой супергеометрии, обобщающей все геометрии?

[Munin]

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

А что если любой объект является инвариантом и с ним связана АСО?

Многовато АСО получается. Вообще, по определению, АСО - одна на всех.

Dyaus_Pitar в сообщении #960270 писал(а):

Вопрос заключается в следующем, а существует ли способ не проверять множество величин на их инвариантность, производя каждый раз громоздкие вычисления для каждого объекта, а выявлять эти инварианты с помощью каких либо формул?

Да, существует, но это более сложная теория. Излагается где-то курсе на третьем, если математикам. А для нематематиков - может вообще на пятом или позже. Хвататься за неё прямо сейчас вам рановато.

Dyaus_Pitar в сообщении #960295 писал(а):

Это ведь тоже метод исследования - метод поиска нужных геометрией и свойств пространства, однако программа Клейна отвергла такой подход к исследованию и геометрии.

Вы не придумали ничего нового. И программа Клейна не отвергла такой подход.

Dyaus_Pitar в сообщении #960306 писал(а):

Просто мысли разные в процессе прочтения лезут - фантазия разыгралась :)

Это, в общем, хорошо, но стоит себя обуздывать.

Dyaus_Pitar в сообщении #960371 писал(а):

Слышал, что одно время на проективную геометрию возлагались большие надежды, как на кандидата по обобщению различных типов геометрий. Каково сейчас положение дел в этом направлении? Ведутся ли поиски некой супергеометрии, обобщающей все геометрии?

Положение дел такое:

1) Оказалось, что проективная геометрия - сама по себе всего лишь частный случай более общих типов геометрий.

2) Примерно на рубеже 19-20 веков предмет геометрии расширился чрезвычайно. Старые "геометрии" (такие как геометрия Лобачевского, геометрия Евклида, проективная геометрия) низведены до соответствующих пространств (пространство Лобачевского, пространство Евклида, проективное пространство), и найдены способы создавать такие пространства пачками, на конвейере, путём параметризации некоторой более общей идеи. В эту более общую идею подставляют какую-то, например, функцию, и получают на выходе пространство - такое же уникальное, как пространство Евклида. Геометриями стали называть типовые идеи таких пространств: риманова геометрия, геометрия с кручением, алгебраическая геометрия, конечная геометрия и т. д. Кроме того, многие пространства стали рассматриваться смежными разделами математики: линейной алгеброй, функциональным анализом, теорией групп.

3) На следующем этапе, который происходил в первой половине и в середине 20 века, в этом "зоопарке пространств" (даже идей пространств, подчёркиваю) произошло упорядочение, когда каждую такую "типовую идею" разложили на отдельные составляющие, и научились собирать их в разных комбинациях, как конструктор. Эти составляющие сегодня называются геометрическими структурами. Существуют, соответственно, гладкая структура, риманова структура, конформная, комплексная, симплектическая, кэлерова - как всего лишь частный пример большого инструментария.

4) Дальше происходит уже этап обобщения этих структур, но я про него очень мало знаю.

В общем, за сто лет поезд уехал очень далеко. Проективная геометрия - давно уже частный случай частного случая частного случая. Да, красивая игрушка. Но детская, а игроки давно уже из неё выросли.

[Dyaus_Pitar]

Благодарю за столь подробный ответ.