Теорема о сумме вычетов

[lookoutpelican]

В теореме о сумме вычетов для функции, аналитической в расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, включая бесконечно удаленную, утверждается, что полная сумма вычетов во всех изолированных особых точках равняется нулю.
Нам предложили сформулировать и доказать теорему о сумме вычетов функции в присутствии точки, предельной для полюсов, в частности, найти такой вид функций, для которых бы эта теорема выполнялась. Привели пример функции, у которой, очевидно, есть точка $z=0 , предельная для полюсов
$\ctg\frac{1}{z}$
Причем заявили, что полная сумма вычетов по всем изолированным особым точкам этой функции также равна нулю, хоть функция и имеет бесконечное число изолированных особых точек вблизи предельной для полюсов точки.
Я попробовал решить эту задачу, для начала приступив к проверке утверждения для $\ctg \frac{1}{z} . Для этой функции
$z_k=(\pi k)^{-1}, $k$\in $\mathbb{Z}$ $ - полюса первого порядка, точка $z=0 - предельная для полюсов, $z=\infty - тоже полюс. Вычет в каждом простом полюсе $z_k будет равен $-\frac{1}{\pi^2 k^2}. В результате, сумма вычетов в точках $z_k представится рядом

$$-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$$

Сумму этого ряда найду разложением функции $f(x)=x^2 по косинусам кратных дуг в интервале $(0,\pi)
$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}$$,
$f(\pi)=\frac{\pi^2}{3}+4$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
Отсюда

$$-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = -\frac{1}{3}$$

Далее я не понимаю, как найти вычет в бесконечно удаленной точке, так как обычно мы его искали из разложения в ряд Лорана по степеням $\frac{1}{z} или как раз по теореме о сумме вычетов, но здесь напротив нужно проверить равенство нулю вычетов по всем изолированным особым точкам. По поводу разложения в ряд Лорана приходят в голову только стандартные разложения для $\sin \frac{1}{z} и $\cos\frac{1}{z}, только дальше я встаю в тупик. Каким образом можно найти вычет в бесконечно удаленной точке для этой функции? И сразу вопрос - возможно вообще ли найти общий вид таких функций, что бы для него сформулировать требуемую теорему?

[Otta]

lookoutpelican в сообщении #960011 писал(а):

Далее я не понимаю, как найти вычет в бесконечно удаленной точке,

В ней как раз нормально ищется. Просто по определению.
Но вот ноль - тоже особая точка. Неизолированная. Что делать будем?
Проверьте Ваше утверждение на более простой функции. Например, $f(z)=\frac{1}{\sin \pi z}$.

[lookoutpelican]

Otta в сообщении #960016 писал(а):

Но вот ноль - тоже особая точка. Неизолированная. Что делать будем?

Поправил своё первое сообщение

[Otta]

Вы свое поправили, а мой пример остался. Не нравится? Нате еще один $f(z)=\frac{z}{\sin \pi z}$.

[lookoutpelican]

Теперь я попробовал сформулировать как можно точнее

-- 11.01.2015, 17:21 --

Otta в сообщении #960016 писал(а):

Например, $f(z)=\frac{1}{\sin \pi z}$.

После вашего примера возникла идея - одним из возможных необходимых(или же достаточных?) условий требуемой теоремы является сходимость ряда из вычетов в полюсах, для которых как раз присутствует предельная точка.

[Otta]

А, ну вот так лучше. Ну и что же, Вы собирались проверить утверждение для Вашего котангенса. Хорошее дело. Итак, вычет в бесконечности. (Уже видно, правда, что для этой функции ничего не выйдет, но хоть вычет научиться считать.)

-- 11.01.2015, 18:25 --

lookoutpelican в сообщении #960023 писал(а):

После вашего примера возникла идея - одним из возможных необходимых(или же достаточных?) условий требуемой теоремы является сходимость ряда из вычетов в полюсах, для которых как раз присутствует предельная точка.

А попробуйте. Как из этой функции сделать нужную, в общем-то, понятно.

[ex-math]

Ерунда какая-то, а не теорема. Все будет очень сильно зависеть от поведения функции в окрестности неизолированной особенности. Котангенс и обратный синус в этом плане хорошие функции, но это не просто так ясно, а выясняется их тщательным иследованием в окрестности предельной для полюсов точки.

[ewert]

lookoutpelican в сообщении #960011 писал(а):

Нам предложили сформулировать и доказать теорему о сумме вычетов функции в присутствии точки, предельной для полюсов, в частности, найти такой вид функций, для которых бы эта теорема выполнялась.

Придумывать функции -- это потом. Сначала надо придумать, что такое вычет. Итак: что же такое вычет в неизолированной особой точке?...

[Otta]

ewert в сообщении #960401 писал(а):

Сначала надо придумать, что такое вычет. Итак: что же такое вычет в неизолированной особой точке?...

Не надо ему этого придумывать. Речь идет о сумме вычетов в изолированных о.т.