Разница между признаками Абеля и Дирихле

[Nurzery[Rhymes]]

Есть следующие два признака сходимости рядов вида $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \cdot b_n$:
Признак Абеля
Если выполняются два условия:
1) Последовательность ${b_n}$ монотонна и ограниченна
2) Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится,
тогда исходный ряд сходится.

Признак Дирихле
Если выполняются два условия:
1) Последовательность $b_n$ монотонна и бесконечно малая
2) Последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ ограниченна, то есть $\exists M > 0: |A_n| < M$, где $A_n = \sum\limits_{1}^{n}a_n$
тогда исходный ряд сходится.

Разницу между первыми пунктами я вижу: в одном признаке последовательность должна просто не превосодить какое-то число, а в другом она должна стремиться к нулю. А в чем разница между вторыми пунктами? Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда. Почему в признаке Дирихле нельзя сказать, что ряд сходится?

Или имеется в виду, что последовательность не обязана неограниченно приближаться к своему пределу, и этот признак работает даже в ситуации, когда последовательность возрастает, достигает своей границы, а потом начинает приближаться к нулю? То есть ее монотонность не имеет значения.

И объясните разницу между "признаком" и "критерием". Критерий - это когда мы какое-то суждение меряем как линейкой - подходит под критерий, значит, суждение верно, не подходит - неверно? А признак - это когда для истинности суждения выполнение признака обязательно, но наверняка по этому признаку ничего сказать нельзя?

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):

Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда.

Знакопостоянного ряда.

Признак (сходимости) - достаточное условие (ее же), критерий - необходимое и достаточное.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):

А в чем разница между вторыми пунктами? Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда.

Отнюдь (сказала графиня). Отвлекаясь даже от определения сходимости ряда (хотя его и не помешало бы вызубрить). Частным случаем второго признака является признак Лейбница. В котором $a_n=(-1)^n$. И что: ряд $-1+1-1+1+1-\ldots$ -- он сходится?...

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):

объясните разницу между "признаком" и "критерием".

Объясняю. Термин "признак" не является математическим, это некий лирический бантик. Термин же " критерий" в математике имеет строго определённое значение: это -- необходимое и достаточное условие. (ну, конечно, за исключением матстатистики, где вообще всё не как у людей)

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #959331 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):

Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда.

Знакопостоянного ряда.

Признак (сходимости) - достаточное условие (ее же), критерий - необходимое и достаточное.

А разве достаточное условие не является одновременно и необходимым? Не совсем понимаю основные формы высказываний в математике.

Цитата:

Отвлекаясь даже от определения сходимости ряда (хотя его и не помешало бы вызубрить)

Ну ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм. Если эта последовательность ограничена, разве это не достаточное условие того, что существует предел? Или нет? Например, последовательность {$\sin x$} ограничена, но не имеет предела.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959335 писал(а):

А разве необходимое условие не является одновременно и достаточным?

С чего бы?
из $A$ следует $B$. Тогда $A$ -- достаточное условие для $B$. А $B$ - необходимое условие для $A$.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959335 писал(а):

Или нет? Например, последовательность {$\sin x$} ограничена, но не имеет предела.

Во-первых, это не последовательность. Во- вторых: о-о, как Вы правы! Это воистину нет.

[Nurzery[Rhymes]]

ewert в сообщении #959338 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959335 писал(а):

Или нет? Например, последовательность {$\sin x$} ограничена, но не имеет предела.

Во-первых, это не последовательность. Во- вторых: о-о, как Вы правы! Это воистину нет.

Для натуральных $x$ будет последовательностью.