Обобщение тождества Кассини

[Alexander Evnin]

Тождество Кассини (1680 г.): $F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$.
Оказывается, имеется следующее обобщение.

Пусть последовательность $(a_n)$ задана так:
$a_0=A$, $a_1=B$ и $a_{n+1}=ka_n+a_{n-1}$ для любого натурального $n$.
Докажите, что $a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2=(-1)^{n-1}(kAB+A^2-B^2)$.

[nnosipov]

Ну, линейные рекурренции, всё механически проверяется по явным формулам.

Хотя на это можно посмотреть как на вычисления с многочленами по модулю характеристического многочлена $x^2-kx-1$.

[Alexander Evnin]

Доказательство, конечно, несложное, но интересен сам факт!

[nnosipov]

Похоже на вычисление какого-то определителя. А почему не произвольная рекурренция 2-го порядка?

В общем случае там будет справа свободный член в степени $n-1$, умноженный на дискриминант. Если обобщать на более высокий порядок, то, возможно, циркулянты какие-нибудь появятся слева.

[maxal]

Другое обобщение - тождество Каталана: http://mathworld.wolfram.com/CatalansIdentity.html
которое в свою очередь также можно обобщить на другие линейные рекуррентные последовательности.

[iifat]

nnosipov в сообщении #958437 писал(а):

Похоже на вычисление какого-то определителя

Скорее всего, не просто похоже. Если расположить числа в матрицу $A_n=\begin{pmatrix}F_{n-1}&F_n\\F_n&F_{n+1}\end{pmatrix}$, то $A_{n+1}=A_nK$. Подозреваю, что если кому не лень вычислить точно матрицу $K$, то определитель её окажется минус единицей. Мне лень