Математическая логика (сигнатуры...)

[Vitamin]

1) Пусть сигнатура сигма = <P>, где P – символ двухместного предиката, t – терм сигнатуры сигма. Доказать, что правило
Г |- Ф(t)
Г|- сущ xФ(x)

не является допустимым в исчислении предикатов сигнатуры сигма.

Как мне кажется правило является допустимым, так как это одно из правил вывода. Но есть сомнения, потому что преподаватель, как правило, не ошибается, давая задачу.

2) Доказать, что для любой бесконечной модели А сигнатуры сигма существует модель В сигнатуры сигма такая, что А эквивалентно В, ||B|| =max{w , ||сигма ||}, но не всякий элемент В является интерпретацией константного символа из сигма.

Просто не имею представления как решать подобное. Хотя бы расскажите ход решения, пожалуйста, кто знает.

[Профессор Снэйп]

Насчёт первого: очень странно! Это правило является допустимым (то есть не увеличивает множество доказуемых секвенций). Более того, во многих списках правил вывода секвенциального исчисления предикатов (например, в списке из книги Ершова и Палютина "Математическая логика") это правило считается одним из основных (в указанной книге оно фигурирует под номером 15).

Может, у Вас какое-то необычное определение допустимости правила вывода? Типа основные правила не включаются в допустимые? Если так, то это очень не общепринято.

В связи с этим правилом следует, конечно, оговорить, что подстановка терма $t$ вместо свободной переменной $x$ в формулу $\Phi(x)$ должна быть допустимой (то есть ни одно свободное вхождение $x$ не должно находиться в области действия квантора по переменной, имеющей вхождение в терм $t$). Однако такие вещи обычно подразумеваются по умолчанию и, скорее всего, дело не в этом.

Я бы посоветовал показать преподавателю книгу, в которой это правило перечислено в списке основных.

Насчёт второго. Общая идея такая. Вводим достаточно большое количество новых констант в сигнатуру и через теорему компактности строим модель, которая элементарно эквивалентна $\mathfrak{A}$ и для которой мощность носителя больше, чем множество констант сигнатуры. Затем выбираем в носителе этой модели элемент, не являющийся значением константного символа и, пользуясь теоремой Левенгейма-Сколема, выделяем элементарную подмодель мощности $\max \{ \omega, \| \sigma \| \}$. Детали сами проработаете.

[Vitamin]

Благодарю за вышенаписанное. Оказалось действительно не очень сложно (относительно 2й задачи).
По поводу первой:мы считаю что правило допустимо, если из выводимости над чертой следует выводимость под чертой. И даже интуитивно понятно, что если подставив вместо х терм t и Ф(t) истино, то очевидно что существует такой х что Ф(х) истино, взяв х равное t.

Появилась еще одна задачка, решали всем аулом, решить не смогли.

Док-ть, что класс всех одноместных векторных пространств над полем R не является аксиомотизируемым в сигнатуре сигма = <+,alfa*,0>, где alfa* - одноместная функция умножения вектора на alfa, alfa из R.

[нг]

Vitamin
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

[Профессор Снэйп]

Vitamin писал(а):

Док-ть, что класс всех одноместных векторных пространств над полем R не является аксиомотизируемым в сигнатуре сигма = <+,alfa*,0>, где alfa* - одноместная функция умножения вектора на alfa, alfa из R.

Каких пространств? Может "одномерных", а не "одноместных"?

Введите в сигнатуру две новые константы, запишите бесконечное множество предложений, в совокупности утверждающих, что два элемента, являющиеся значениями этих констант, линейно независимы, и используйте теорему компактности.

[Vitamin]

Спасибо за помощь.
Вот еще одна задачка.
Пусть $\mathfrak{A} $ = $\langle A,\leqslant\rangle$ - бесконечное вполне упорядоченное множество. Доказать что существует линейно упорядоченное множество $\mathfrak{B}$ = $\langle B,\leqslant\rangle$, элементарно эквивалентное $\mathfrak{A} $ , такое, что $\mathfrak{B}$ не является вполне упорядоченным.

(Я думаю, что надо выписать аксиомы лума и бесконечно убывающую цепь(чтобы был не вум). Докажем лок. выполнимость=> по теореме Мальцева оно выполнимо => существует модель $\mathfrak{B}$ на которой выполнимо мн-во аксиом.
Осталось доказать что $\mathrm{Th}$ $\mathfrak{A} $ = $\mathrm{Th} $ $\mathfrak{B} $ ? )

[нг]

Vitamin
Пожалуйста, исправьте формулы в соответствии с требованиями форума и сообщите модератору (ЛС).

[нг]

возвращена