Двумерные случайные величины

[SlayZar]

Случайная величина ($\xi, \eta$) распределена по нормальному закону с математическим ожиданием ($\mu_1, \mu_2)$ и ковариационной матрицей $\sum = \left(\begin{matrix} \sigma_\xi^2 & cov (\xi, \eta) \\ cov (\eta, \xi) & \sigma_\eta^2 \\ \end{matrix}\right)$

Найти $P(\xi-\eta>a)$, если $(\mu_1,\mu_2)=(0,5;0,5)$; $\sum = \left(\begin{matrix} 4 & -4 \\ -4 & 12 \\ \end{matrix}\right); a=\sqrt{24}$

Сначала нашёл коэффициент корреляции $\xi$ и $\eta$:
$r=\frac{cov(\xi, \eta)}{\sqrt{D{\xi} D{\eta}}}=\frac{-4}{\sqrt{48}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Тогда можем найти плотность вероятности по формуле $\phi(\xi, \eta)=\frac{1}{2\pi \sigma_{\eta} \sigma_{\xi} \sqrt{1-r^2}} exp \left[-\frac{1}{2(1-r^2)} \left( \frac{(\xi-\mu_\xi)^2}{\sigma_{\xi}^2}-\frac{2r(\xi-\mu_{\xi})(\eta-\mu_{\eta})}{\sigma_{\eta} \sigma_{\xi}} +\frac{(\eta-\mu_\eta)^2}{\sigma_{\eta}^2} \right) \right]$

Подставляем и получаем $\phi(\xi, \eta)=\frac{1}{8\pi \sqrt{2}} exp \left[-\frac{3}{4} \left( \frac{(\xi-\frac{1}{2})^2}{4}+ \frac{2(\xi-\frac{1}{2})(\eta-\frac{1}{2})}{12} +\frac{(\eta-\frac{1}{2})^2}{12} \right) \right] = \frac{1}{8\pi \sqrt{2}} exp \left[-\frac{3}{4} \left( \frac{(\xi+\eta-1)^2}{12}+\frac{(\xi-\frac{1}{2})^2}{6}\right) \right] $

И тогда $P(\xi-\eta>\sqrt{24})=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\xi\int\limits_{-\infty}^{\xi-\sqrt{24}} \phi(\xi, \eta)d\eta$

Подскажите, пожалуйста, как теперь брать этот интеграл? Похож на Гауссову функцию, но все же не она... Или может быть я просто не тем путём пошёл и есть какой-то способ попроще?

[--mS--]

Не проще просто взять и выписать распределение $\xi-\eta$? Какое оно?

[SlayZar]

--mS-- в сообщении #957795 писал(а):

Не проще просто взять и выписать распределение $\xi-\eta$? Какое оно?

(Оффтоп)

Извиняюсь, был в отъезде

Вроде бы получилось.
Нашел мат. ожидание и дисперсию $\xi-\eta$
$\mu[\xi-\eta]=\mu[\xi]-\mu[\eta]=0$
$D[\xi-\eta]=D[\xi]+D[\eta]-2cov(\xi,\eta)=16-2(-4)=32$

Случайная величина $\xi-\eta$ тоже будет распределена нормально, а значит её функция плотности
$f(\xi-\eta)=\frac{1}{\sqrt{32}\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\xi-\eta)^2}{2*32}}= \frac{1}{8\sqrt{\pi}} e^{-\frac{(\xi-\eta)^2}{64}}$

Тогда $P(\xi-\eta>\sqrt{24})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{32}})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(0.87)=0.5-0.3078=0.1922$
Верно?

[--mS--]

Почти. $16+8=24\neq 32$.

[SlayZar]

--mS-- в сообщении #959853 писал(а):

Почти. $16+8=24\neq 32$.

М-да, что-то я совсем уже...

А правильно ведь, что плотность мы тут можем вообще не искать даже.
У нас нормальное распределение с параметрами $0, 24$

Тогда $P(\xi-\eta>\sqrt{24})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{24}})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(1)=0.5-0.3413=0.1587$

[--mS--]

Верно.