Примитивные пифагоровы тройки (верно ли доказательство)?

[bayah]

Здравствуйте, товарищи.

Тема относится к решению уравнения $a^2 + b^2 = c^2$ в целых числах.
Каждая тройка $(a,b,c)$ удовлетворяющая условиям этого уравнения называется пифагоровой тройкой.

Есть такая формула:

$\begin{cases} a=v^2-u^2 \\ b=2uv \\ c=u^2+v^2 \\ \end{cases} \eqno (1)$

, где $(a,b,c)$ - пифагорова тройка,
$u, v$ - произвольные целые положительные числа.

Примитивной пифагоровой тройкой будем называть пифагорову тройку, если числа $a, b, c$ не имеют общих множителей.


Итак, нужно показать, что формулы (1)
,где $u, v$ - произвольные целые положительные числа $(v>u)$, не имеющие общих множителей
и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки.

Доказательство.

Итак, возможно два случая:
1). Числа $(u,v)$ имеют общие множители:
a) числа четные;
b) числа нечетные;
c) одно число четное, другое нечетное.
2). Числа $(u,v)$ не имеют общих множителей:
a) числа нечетные;
b) одно число четное, другое нечетное.

Нам предлагается доказать, что только в случае 2).b) пифагоровы тройки $(a,b,c)$ получаются примитивными. Следовательно, нужно показать, что:
1). в случае 2).b) получаются только примитивные пифагоровы тройки
2). во всех остальных случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.

Итак 1):
Рассмотрим случай 2).b), когда числа $u$, $v$ не имеют общих множителей и пусть $u$ - нечетное, а $v$ - четное.
И, так как любое составное число может быть записано в виде произведения простых чисел, то запишем наши числа $u$, $v$ в виде:
$u=p_1p_2 \dots p_n$,
$v=q_1q_2 \dots q_m$,
,где $p_1,p_2, \dots ,p_n,q_1,q_2, \dots ,q_m$ - простые, попарно не равные (т.к. $u$, $v$ - не имеют общих множителей).

Тогда, подставив в (1) получим:
$a=(q_1q_2 \dots q_m)^2 - (p_1p_2 \dots p_n)^2$

$b=2\cdot p_1p_2 \dots p_nq_1q_2 \dots q_m$

$c=(p_1p_2 \dots p_n)^2 + (q_1q_2 \dots q_m)^2$

Так как $u$ - нечетное, а $v$ - четное, то $a$ и $c$ будут четными (т. к. четное вычесть или прибавить нечетное всегда получится нечетное число),
а $b$ - четное (т.к. произведение четного и нечетного всегда число четное).
Кроме того $a$ и $c$ не содержат ни множителей $v$, ни множителей $u$ ( следует написать доказательство этого утверждения? ).
Итак, $a$ и $c$ не содержат ни одного из множителей с $b$ множителей $p_1p_2 \dots p_nq_1q_2 \dots q_m$, а так так же не содержат множителя 2 (т.к. нечетные),
то $a$, $b$, $c$ не содержат общих множителей.

Теперь окажем, что в других случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.
Рассмотрим случай 1) $u$, $v$ - имеют общие множители.
Пусть имеется общий множитель p:
$u=pn$,
$v=pm$,

Тогда получим
$a=(pm)^2 - (pn)^2 = p^2(m^2-n^2)$

$b=2 \cdot pn \cdot pm = p^2 \cdot 2 \cdot nm$

$c=(pn)^2 + (pm)^2 = p^2(n^2+m^2)$

Видно, что $a$, $b$, $c$ имеют общий множитель (например $r^2$) и следовательно примитивной пифагоровой тройкой не являются.


Теперь рассмотрим случай 2)a) когда оба числа $u$, $v$ нечетные и не имеют общих множителей.
Пусть
$u=2n+1$,
$v=2m+1$,
тогда
$a=(2m+1)^2 - (2n+1)^2 = 4m^2+2m+1-4n^2-4n-1=2 \cdot 2(m^2+m-n^2-n)$

$b=2 \cdot (2n+1)(2m+1) = 2(4nm+2n+2m+1)$

$c=(2n+1)^2+(2m+1)^2=4n^2+4n+4m^2+4m+2=2(2n^2+2n+1+2m^2+2m)$

Получим, что $a$, $b$, $c$ имеют общий множитель 2 и следовательно, в этом случае, тоже не являются примитивной пифагоровой тройкой.

Итак, мы рассмотрели все возможные важные для доказательства случаи пары $(u, v)$. Мы доказали, что:
1). в случае 2).b) получаются только примитивные пифагоровы тройки
2). во всех остальных случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.
Следовательно, $u, v$ - произвольные целые положительные числа $(v>u)$, не имеющие общих множителей
и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки. ЧТД.


Проверьте пожалуйста правильно ли доказательство?
Спасибо)

[grizzly]

Немного не хватает стройности изложения. Видно, что "для себя" Вы понимаете доказательство достаточно хорошо, но навык аккуратно формулировать мысли и переходы Вам ещё нужно тренировать.
Для примера: Вы нигде не объяснили, почему если $a$ и $c$ имеют общий делитель, то этот же делитель будет иметь $b$. Если Вы решили, что это слишком просто, чтобы объяснять, тогда и это не нужно было объяснять:

bayah в сообщении #957242 писал(а):

Так как $u$ - нечетное, а $v$ - четное, то $a$ и $c$ будут четными

-- оно ведь не сложнее (и смысловую опечатку здесь исправьте).

Такие нестыковки и создают впечатление нестройности изложения. (Их здесь многовато, но с тренировкой это быстро лечится обычно.)

[nnosipov]

bayah в сообщении #957242 писал(а):

Итак, нужно показать, что формулы (1)
,где $u, v$ - произвольные целые положительные числа $(v>u)$, не имеющие общих множителей
и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки.

Доказательство.

Ключевое слово здесь --- "все". Вы доказываете только часть сформулированного утверждения, а именно, проверяете, что формулы (1) с указанными ограничениями на $u$ и $v$ действительно дают примитивные (а не какие-нибудь) пифагоровы тройки. А вот почему формулы (1) дают именно ВСЕ примитивные пифагоровы тройки, так и осталось за кадром. Эту вторую часть доказательства следует дописать.

[Cash]

grizzly в сообщении #957255 писал(а):

Так как $u$ - нечетное, а $v$ - четное, то $a$ и $c$ будут четными (т. к. четное вычесть или прибавить нечетное всегда получится нечетное число),
а $b$ - четное (т.к. произведение четного и нечетного всегда число четное).
Кроме того $a$ и $c$ не содержат ни множителей $v$, ни множителей $u$ ( следует написать доказательство этого утверждения? ).
Итак, $a$ и $c$ не содержат ни одного из множителей с $b$ множителей $p_1p_2 \dots p_nq_1q_2 \dots q_m$, а так так же не содержат множителя 2 (т.к. нечетные),
то $a$, $b$, $c$ не содержат общих множителей.

Это не доказательство. Совершенно непонятно, почему $a$ и $c$ не имеют общих множителей. Да и с $b$ какая-то каша написана. Рекомендую почитать про алгоритм Евклида.

bayah в сообщении #957242 писал(а):

Итак, мы рассмотрели все возможные важные для доказательства случаи пары $(u, v)$. Мы доказали, что:
1). в случае 2).b) получаются только примитивные пифагоровы тройки
2). во всех остальных случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.
Следовательно, $u, v$ - произвольные целые положительные числа $(v>u)$, не имеющие общих множителей
и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки. ЧТД.

Здесь огромнейший логический изъян.
Нет доказательства, что любая пифагорова тройка может быть представлена этой формулой.
P.S. пока писал, nnosipov уже ответил...

[provincialka]

bayah
Зачем так сложно? Лучше от противного: предположите, что $a$ и $c$ имеют общий множитель и посмотрите, что будет с $u$ и $v$.
Кстати, подумайте, почему достаточно проверить только одну пару из чисел $a,b,c$ (любую). Можно проверить $b$ и $с$.

[bayah]

grizzly в сообщении #957255 писал(а):

Немного не хватает стройности изложения. Видно, что "для себя" Вы понимаете доказательство достаточно хорошо, но навык аккуратно формулировать мысли и переходы Вам ещё нужно тренировать.

Ок, буду стараться).

grizzly в сообщении #957255 писал(а):

Для примера: Вы нигде не объяснили, почему если $a$ и $c$ имеют общий делитель, то этот же делитель будет иметь $b$.

А это вроде бы и не следует никак.
Это в каком месте я такое использую?

grizzly в сообщении #957255 писал(а):

(и смысловую опечатку здесь исправьте)

Точно. Спасибо.)
Блин, уже нельзя сообщение исправить.

nnosipov в сообщении #957257 писал(а):

Ключевое слово здесь --- "все". Вы доказываете только часть сформулированного утверждения, а именно, проверяете, что формулы (1) с указанными ограничениями на $u$ и $v$ действительно дают примитивные (а не какие-нибудь) пифагоровы тройки. А вот почему формулы (1) дают именно ВСЕ примитивные пифагоровы тройки, так и осталось за кадром. Эту вторую часть доказательства следует дописать.

Cash в сообщении #957261 писал(а):

Здесь огромнейший логический изъян.
Нет доказательства, что любая пифагорова тройка может быть представлена этой формулой.
P.S. пока писал, nnosipov уже ответил...

А это не входит в необходимое к доказательству. Я не совсем точно написал, наверное. Имеется ввиду, что формулы (1) уже описывают "все" пифагоровы тройки. Это не требуется доказывать в этой задаче (это было как раз доказано до постановки задачи)). А требуется доказать только то, что все примитивные пифагоровы тройки получаются при соответствующих условиях для $u$ и $v$.

Cash в сообщении #957261 писал(а):

Это не доказательство. Совершенно непонятно, почему $a$ и $c$ не имеют общих множителей.

Я не говорил, что $a$ и $c$ не имеют общих множителей. Я говорил, что:

bayah в сообщении #957242 писал(а):

Кроме того $a$ и $c$ не содержат ни множителей $v$, ни множителей $u$ ( следует написать доказательство этого утверждения? ).

А так же, что:

bayah в сообщении #957242 писал(а):

то $a$, $b$, $c$ не содержат общих множителей.

То есть все три числа сразу $a$, $b$, $c$ не содержат общих множителей.

Cash в сообщении #957261 писал(а):

Да и с $b$ какая-то каша написана.

С $b$ вот это? $b=2\cdot p_1p_2 \dots p_nq_1q_2 \dots q_m$. Ну это произведение $u$ и $v$ разложенных на множители.

provincialka в сообщении #957266 писал(а):

Зачем так сложно? Лучше от противного: предположите, что $a$ и $c$ имеют общий множитель и посмотрите, что будет с $u$ и $v$.

Ок, подумаю, спасибо)

provincialka в сообщении #957266 писал(а):

Кстати, подумайте, почему достаточно проверить только одну пару из чисел $a,b,c$ (любую). Можно проверить $b$ и $c$.

Ну да, можно только $b$ и $c$ или $b$ и $a$ рассмотреть. Это когда рассматривается случай с условиями $u$ и $v$ для которых и требуется доказательство утверждения. Там $a$ и $c$ отличаются только знаком в действии, что не влияет на суть, что $a$ и $c$ не будут содержать множителей ни из $u$, ни из $v$. В других условиях не вижу почему можно рассматривать только одну из пар.

[provincialka]

bayah в сообщении #957338 писал(а):

что $a$ и $c$ не будут содержать множителей ни из $u$, ни из $v$.

Это зачем? Вы хотите доказать, что у $a$ и $c$ нет общих множителей. Общих этим двум числам. Причем тут, что их множители еще где-то содержатся или нет? Вы предположили "нехороший" вариант, делайте из него вывод и приходите к противоречию.

bayah в сообщении #957338 писал(а):

других условиях не вижу почему можно рассматривать только одну из пар.

Потому что они связаны условием задачи исходным уравнением.

(Оффтоп)

Честно говоря, условия примитивности тройки настолько очевидны, что даже странно, что их надо доказывать...

[nnosipov]

bayah в сообщении #957338 писал(а):

Это не требуется доказывать в этой задаче (это было как раз доказано до постановки задачи)).

bayah в сообщении #957242 писал(а):

Есть такая формула: ...

Тут нужно быть аккуратнее, поскольку формула (1) не даёт всех пифагоровых троек (например, тройку $(9,12,15)$ по ней не получить).

[grizzly]

bayah
Я, значит, правильно угадал, что формула (1) уже задана как данность свыше для примитивных троек. Но об этом Вам нужно было сказать вслух, конечно.

На это моё замечание:

grizzly в сообщении #957255 писал(а):

Вы нигде не объяснили, почему если $a$ и $c$ имеют общий делитель, то этот же делитель будет иметь $b$.

Ваш ответ

bayah в сообщении #957338 писал(а):

А это вроде бы и не следует никак.
Это в каком месте я такое использую?

меня почти удовлетворил. Да, в Вашей логике Вам это не нужно для доказательства. Но это легко следует и то, что Вы этого не видите сразу, большой минус :)

Хорошо, я тогда приведу другой пример (не ошибки, но, скажем, неэстетичности). В конце доказательства Вы доказываете, что при нечётных $u, v$ будет общий множитель. И начинаете расписывать формулы, раскрывать скобки, приводить подобные. А если бы нужно было возводить в 50-ю степень? Ведь достаточно заметить только, что нечётное плюс/минус нечётное равно чётное.

[bayah]

provincialka в сообщении #957347 писал(а):

bayah в сообщении #957338
писал(а):
что $a$ и $c$ не будут содержать множителей ни из $u$, ни из $v$.

Это зачем? Вы хотите доказать, что у $a$ и $c$ нет общих множителей. Общих этим двум числам. Причем тут, что их множители еще где-то содержатся или нет?

Нет, тут я на самом деле не хочу доказать, что у $a$ и $c$ нет общих множителей. Тут я доказываю, что общих множителей нет у $a$ и $b$ или $a$ и $c$ (вторую пару можно и не рассматривать конечно). А для этого я показываю, что например в $a$ нет множителей, которые содержаться в $u$ и $v$. А так как $b$, как раз состоит из всех множителей $u$ и $v$, то можно заключить, что у $a$ и $b$ общих множителей быть не может.

nnosipov в сообщении #957354 писал(а):

Тут нужно быть аккуратнее, поскольку формула (1) не даёт всех пифагоровых троек (например, тройку $(9,12,15)$ по ней не получить).

Пардон, ошибочка. Формула для всех пифагоровых троек еще содержит коэффициент пропорциональности:

$$\begin{cases} a=(v^2-u^2)r \\ b=(2uv)r \\ c=(u^2+v^2)r \\ \end{cases} \eqno (1)$$

Тогда $(9,12,15)$, это тройка $(3,4,5)$ с коэффициентом $r=3$.

grizzly в сообщении #957255 писал(а):

Вы нигде не объяснили, почему если $a$ и $c$ имеют общий делитель, то этот же делитель будет иметь $b$.

grizzly в сообщении #957384 писал(а):

Да, в Вашей логике Вам это не нужно для доказательства. Но это легко следует и то, что Вы этого не видите сразу, большой минус :)

Аа.. это следует из того, что нам заранее известно, что $(a,b,c)$ - пифагорова тройка, то есть выполняется соотношение $a^2+b^2=c^2$. Теперь, если $a$ и $c$ имеют общий множитель, например $p$, то можно записать $b^2=pc_1-pa_1=p(c_1-a_1)$, следовательно и $b$ так же делится на $p$. Так?

grizzly в сообщении #957384 писал(а):

Хорошо, я тогда приведу другой пример (не ошибки, но, скажем, неэстетичности). В конце доказательства Вы доказываете, что при нечётных $u, v$ будет общий множитель. И начинаете расписывать формулы, раскрывать скобки, приводить подобные. А если бы нужно было возводить в 50-ю степень? Ведь достаточно заметить только, что нечётное плюс/минус нечётное равно чётное.

Ндаа.. та еще неэстетичность, даже глупость. Что-то не подумал, спасибо.)