Здравствуйте, товарищи.
Тема относится к решению уравнения

в целых числах.
Каждая тройка

удовлетворяющая условиям этого уравнения называется пифагоровой тройкой.
Есть такая формула:

, где

- пифагорова тройка,

- произвольные целые положительные числа.
Примитивной пифагоровой тройкой будем называть пифагорову тройку, если числа

не имеют общих множителей.
Итак, нужно показать, что формулы (1)
,где

- произвольные целые положительные числа

, не имеющие общих множителей
и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки.
Доказательство.
Итак, возможно два случая:
1). Числа

имеют общие множители:
a) числа четные;
b) числа нечетные;
c) одно число четное, другое нечетное.
2). Числа

не имеют общих множителей:
a) числа нечетные;
b) одно число четное, другое нечетное.
Нам предлагается доказать, что только в случае 2).b) пифагоровы тройки

получаются примитивными. Следовательно, нужно показать, что:
1). в случае 2).b) получаются только примитивные пифагоровы тройки
2). во всех остальных случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.
Итак 1):
Рассмотрим случай 2).b), когда числа

,

не имеют общих множителей и пусть

- нечетное, а

- четное.
И, так как любое составное число может быть записано в виде произведения простых чисел, то запишем наши числа

,

в виде:

,

,
,где

- простые, попарно не равные (т.к.

,

- не имеют общих множителей).
Тогда, подставив в (1) получим:

Так как

- нечетное, а

- четное, то

и

будут четными (т. к. четное вычесть или прибавить нечетное всегда получится нечетное число),
а

- четное (т.к. произведение четного и нечетного всегда число четное).
Кроме того

и

не содержат ни множителей

, ни множителей

( следует написать доказательство этого утверждения? ).
Итак,

и

не содержат ни одного из множителей с

множителей

, а так так же не содержат множителя 2 (т.к. нечетные),
то

,

,

не содержат общих множителей.
Теперь окажем, что в других случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.
Рассмотрим случай 1)

,

- имеют общие множители.
Пусть имеется общий множитель p:

,

,
Тогда получим

Видно, что

,

,

имеют общий множитель (например

) и следовательно примитивной пифагоровой тройкой не являются.
Теперь рассмотрим случай 2)a) когда оба числа

,

нечетные и не имеют общих множителей.
Пусть

,

,
тогда

Получим, что

,

,

имеют общий множитель 2 и следовательно, в этом случае, тоже не являются примитивной пифагоровой тройкой.
Итак, мы рассмотрели все возможные важные для доказательства случаи пары

. Мы доказали, что:
1). в случае 2).b) получаются только примитивные пифагоровы тройки
2). во всех остальных случаях нельзя получить примитивные пифагоровы тройки.
Следовательно,

- произвольные целые положительные числа

, не имеющие общих множителей
и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки. ЧТД.
Проверьте пожалуйста правильно ли доказательство?
Спасибо)