Предел

[fronnya]

$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$. Что я пробовал сделать:
1) домножить и разделить на $n$
2) расписать как разность квадратов
3) представить в виде квадрата разности
Все это приводило меня к печали
Вот пример выкладок:
$\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n \sqrt{n+1}}{n}-\frac{n\sqrt{n}}{n})=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^3+n^2}-\sqrt{n^3}}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt[4]{\frac{1}{n}}\right)\left(\sqrt[4]{n^3+n^2}+\sqrt[4]{n^3}\right)$
Это все равно приводит к неопределенности $0\cdot\infty$ Как мне поступить здесь?

[ex-math]

Домножать и делить на сумму корней Вас не учили?

[Terraniux]

(Шутка)

fronnya в сообщении #956961 писал(а):

Это все равно приводит к неопределенности $0\cdot\infty$ Как мне поступить здесь?

Правило Лопиталя? :)

Домножить на сопряженное, всегда помогает в таких случаях. Ну, или формула Тейлора на крайний случай.

[fronnya]

Получилось так $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt {n+1}+\sqrt{n}}$ Дальше рассуждать нужно так: раз знаменатель стремится к бесконечность, значит дробь- к нулю. Да?

[Aritaborian]

fronnya в сообщении #956972 писал(а):

раз знаменатель стремится к бесконечность, значит дробь- к нулю. Да?

Ну само собой да.

[fronnya]

Aritaborian в сообщении #956980 писал(а):

fronnya в сообщении #956972 писал(а):

раз знаменатель стремится к бесконечность, значит дробь- к нулю. Да?

Ну само собой да.

Ясно, спасибо

[B@R5uk]

У меня в своё время при взгляде на этот пример возник вопрос: как надо модернизировать подкоренное выражение, чтобы предел стал равен конечному числу. Там, правда, было что-то с квадратами под корнями, но и тут это тоже сработает.