Неизвестная кривая?

[kavict]

Skeptic в сообщении #953476 писал(а):

kavict, я совсем запутался.
На последнем рисунке кривые $QR$ и $VU$ в точности соответствуют большой формуле, и не имеют никакого отношения к кривой $ABC$, показанной на этом рисунке как $BSE$.

В этой теме речь идет только о кривой $BSE$ в обозначениях последнего рисунка.
О кривых $QR=UV=ST$ разговор особый, и мы его еще не начинали.

[kavict]

Aritaborian в сообщении #951651 писал(а):

kavict в сообщении #951613 писал(а):

закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

Интересно, дуга so-called supercircle подойдёт?

Проверил дугу superellipse, предложенную Aritaborian. Ее уравнение в декартовых координатах имеет вид:

$$\left(\frac x a\right)^p+\left(\frac y b\right)^p=1$$

Чтобы придать ей необходимые размеры, положил $a=b=2.941$ (радиус кривизны свободной поверхности жидкости на цилиндрических участках принимаем равным 1). Показатель степени $p$
подобрал таким, чтобы площадь, ограниченная этой кривой и сторонами прямого угла, который она скругляет, была бы равна $\frac \pi 4$, как и требуется. При этом получилось $p=0.3982$. Однако эта дуга суперэллипса проходит несколько иначе, чем требуется. На рисунке красным цветом показана полученная дуга, а черным - требуемый вид (расхождение несколько преувеличено, чтобы показать в чем проявляется несоответствие):

$$ \begin{picture}(200,200) \thicklines \put(0,180){\line(1,0){50}} \put(160,40){\line(0,1){30}} \qbezier(50,180)(160,180)(160,70) \color{red} \qbezier(80,178)(150,170)(158,100) \qbezier(30,180)(70,178)(90,175) \qbezier(157,102)(158,75)(160,50) \color{black} \thinlines \put(160,70){\line(0,1){130}} \put(40,180){\line(1,0){140}} \end{picture} $$

Если бы уравнение допускало еще один параметр, то можно было бы подобрать изменение кривизны по длине.

[Skeptic]

kavict, задайте $p=2$. Будет проще.

kavict, вы связываете радиус кривой $BSE$ с радиусом закругления $r$ капли в углу. При увеличении пятна контакта от минимального радиус закругления капли в углу уменьшается, а радиус кривой $BSE$ сначала возрастает, а затем уменьшается. Т.е. не везде радиус скругления углов пятна пропорционален радиусу закругления капли. Какой смысл искать эту $BSE$?

Форма пятна контакта приведена без доказательства, как факт. Как это доказать?

[kavict]

Skeptic в сообщении #956716 писал(а):

kavict, задайте $p=2$. Будет проще.

При $p=2$ и $a=b$ уравнение

$$\left(\frac x a\right)^p+\left(\frac y b\right)^p=1$$

описывает простую окружность. Обсуждаемая кривая дугой окружности не является.

-- 06.01.2015, 18:15 --

Skeptic в сообщении #956716 писал(а):

kavict, вы связываете радиус кривой $BSE$ с радиусом закругления $r$ капли в углу. При увеличении пятна контакта от минимального радиус закругления капли в углу уменьшается, а радиус кривой $BSE$ сначала возрастает, а затем уменьшается. Т.е. не везде радиус скругления углов пятна пропорционален радиусу закругления капли. Какой смысл искать эту $BSE$?

Форма пятна контакта приведена без доказательства, как факт. Как это доказать?

Верно, я связываю размер кривой $BCE$ с радиусом закруглений $r$ под двугранными углами. Но эта связь наступает не сразу, как только началась деформация сферической капли, а после того, как капля уже значительно деформирована. Эта связь наступает с момента, когда под самым коротким ребром сжимающего многогранника образуется цилиндрический участок свободной поверхности (под более длинными ребрами цилиндрические участки образуются раньше). Вот с этого самого момента форма кривой $BCE$ остается постоянной, а ее размер линейно уменьшается вместе с $r$. С этого же момента пятно контакта ограничено отрезками прямых, соединенными кривыми $BCE$. Если нужно доказательство этого, я его приведу.

[Три А,да]

kavict в сообщении #955861 писал(а):

Aritaborian в сообщении #951651 писал(а):

kavict в сообщении #951613 писал(а):

закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

Интересно, дуга so-called supercircle подойдёт?

Проверил дугу superellipse, предложенную Aritaborian. Ее уравнение в декартовых координатах имеет вид:

$$\left(\frac x a\right)^p+\left(\frac y b\right)^p=1$$

Чтобы придать ей необходимые размеры, положил $a=b=2.941$ (радиус кривизны свободной поверхности жидкости на цилиндрических участках принимаем равным 1). Показатель степени $p$
подобрал таким, чтобы площадь, ограниченная этой кривой и сторонами прямого угла, который она скругляет, была бы равна $\frac \pi 4$, как и требуется. При этом получилось $p=0.3982$. Однако эта дуга суперэллипса проходит несколько иначе, чем требуется. На рисунке красным цветом показана полученная дуга, а черным - требуемый вид (расхождение несколько преувеличено, чтобы показать в чем проявляется несоответствие):

$$ \begin{picture}(200,200) \thicklines \put(0,180){\line(1,0){50}} \put(160,40){\line(0,1){30}} \qbezier(50,180)(160,180)(160,70) \color{red} \qbezier(80,178)(150,170)(158,100) \qbezier(30,180)(70,178)(90,175) \qbezier(157,102)(158,75)(160,50) \color{black} \thinlines \put(160,70){\line(0,1){130}} \put(40,180){\line(1,0){140}} \end{picture} $$

Если бы уравнение допускало еще один параметр, то можно было бы подобрать изменение кривизны по длине.

Интерполяцию можно проводить и по другому (способов тысячи), например:
$\sin {(a_1x+b_1)} \cos {(a_2y+b_2)} =c$
где
$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $c$ - постоянные

[kavict]

arseniiv в сообщении #947309 писал(а):

Есть ли очевидное доказательство того, что у кривой есть те параллельные рёбрам куба прямолинейные участки?

levtsn в сообщении #951453 писал(а):

А мне кажется не будет там цилиндрических поверхностей, только приближение к ним

Уважаемые arseniiv и levtsn,
вы оказались правы в своих сомнениях, а я ошибался - на этой поверхности нет цилиндрических
участков. Следовательно, доказательство в #949924
неверно. Приношу всем извинения, что вынес на обсуждение тему с ошибкой.