неприводимое пространство

[illuminates]

Изучаю вывод уравнения Дирака по А. Мессиа. Путём сравнения с уравнением Клейна-Гордана были получены условия на коэффициенты (операторы) которые должны содержатся в гамильтониане Дирака (главное из которых, что они должны антикоммутировать.). Далее автор говорит о том, что спиновое пространство должно быть неприводим по отношению к этим операторам. А почему именно неприводимым? Почему хотя бы не инвариантным?

[Munin]

illuminates в сообщении #956178 писал(а):

Клейна-Гордана

Клейна-Гордона.

[Red_Herring]

Математический факт: если $\sigma_j$ ($j=0,\ldots,3$) -эрмитовы $m\times m$-матрицы, такие что

$$\sigma_j\sigma_k+\sigma_k\sigma_j=2\delta_{jk}I \qquad \forall j,k=0,\ldots,3,$$

то после унитарного преобразования $\sigma_j =\alpha_j \otimes I$, где $\alpha_j$ это $4\times 4$ матрицы, удовлетворяющие тем же соотношениям, а $I$ единичный оператор в $\mathbb{C}^q$ s $q=m/4$ (которое будет целым). Тогда $\alpha_j$ дадут неприводимое представление и будут после унитарного преобразования обычными дираковскими.

Дальше все, конечно можно изучать одну частицу математически и эта лишняя размерность никаких неприятностей не доставит. Ведь что получается: частица характеризуется волновой функцией $\Psi (x_0,\ldots, x_3)$ со значениями в $\mathbb{C}^m$, а можно скалярной волновой функцией $\psi (x_0,\ldots, x_3;z)$ где $z=1,\ldots,m$. У Дирака $m=4$, а вот если $m=4q$ с $q>1$, то можно ввести эквивалентное описание $\psi (x_0,\ldots, x_3;z;w)$ где $z=1,\ldots,4$, a $w=1,\ldots,q$.

А вот с двумя частицами начнется хренотень: потому что у электрона появляется скрытая координата $w$ и принцип Паули не запрещает $q$ частиц с одними и теми же координатами $(x_0,\ldots, x_3;z)$.

Я предполагаю, что у физиков есть достаточные основания, чтобы отвергнуть подобную теорию (со скрытой координатой ). Если я неправ, пусть они меня поправят (Munin, ау!) .

[amon]

Red_Herring в сообщении #956224 писал(а):

Я предполагаю, что у физиков есть достаточные основания, чтобы отвергнуть подобную теорию

На вскидку, и может быть - вранье. Представление функциями $\psi (x_0,\ldots, x_3;z;w)$ приводимо. Одной частице должна соответствовать одна энергия, значит ее волновая функция должна принадлежать неприводимому представлению.

[Red_Herring]

amon в сообщении #956242 писал(а):

На вскидку, и может быть - вранье.

Что вранье? то, что есть скрытая координата (что неминуемо было бы в случае приводимого представления) или то, что у физиков есть основания ее отвергнуть? Я предполагаю именно последнее.

Что касается того, что

amon в сообщении #956242 писал(а):

Одной частице должна соответствовать одна энергия, значит ее волновая функция должна принадлежать неприводимому представлению.

то следует ли понимать это так: если бы была скрытая координата, то была бы какая-то ситуация, в которой эта скрытая координата "открылась бы", приводя к расщеплению энергетических уровней, т.е. было бы несколько типов электронов?

[amon]

Red_Herring в сообщении #956250 писал(а):

Что вранье?

То, что я написал.

Red_Herring в сообщении #956250 писал(а):

то следует ли понимать это так: если бы была скрытая координата, то была бы какая-то ситуация, в которой эта скрытая координата "открылась бы", приводя к расщеплению энергетических уровней, т.е. было бы несколько типов электронов?

Да

[Munin]

Ну в принципе, никто не мешает существовать нескольким совершенно одинаковым электронам с одинаковыми массами и всё такое.

Хотя нет. Они сразу начнут друг в друга превращаться, через два фотона. А значит, энергии расщепятся. Как, скажем, это $K^0$-мезоны делают.

[Red_Herring]

amon, Munin
Ваши аргументы против приводимого представления (т.е. скрытой координаты) основаны на теории элементарных частиц—если бы это было, то электрон был бы не одной частицей, а семейством частиц. Так?

Я замечаю, что есть еще один аргумент, просто квантомеханический: принцип Паули работал бы по другому. Если отказаться от релятивистской теории, то электрон описывают гамильтонианом Паули, который при отсутствии внешнего магнитного поля совпадает с гамильтонианом Шрёдингера, но действует на двухкомпонентные функции. В результате на нижнем уровне энергии есть место для двух электронов (что и наблюдаем). Если бы была скрытая координата, то там было бы место для $2q$ электронов (чего нет). Разумеется, не все так просто—поскольку электроны отталкивают друг друга.

Если бы электроны были бозонами (т.е. частицами, склонными к свальному греху), то этот аргумент бы не работал.

[amon]

Red_Herring в сообщении #956274 писал(а):

Ваши аргументы против приводимого представления (т.е. скрытой координаты) основаны на теории элементарных частиц—если бы это было, то электрон был бы не одной частицей, а семейством частиц. Так?

Так. Тут есть еще такое соображение. Неприводимость представления группы симметрии гамильтониана - достаточное условие для вырожденности уровня энергии. В принципе, уровни могут быть вырождены и для приводимых представлений, но тогда любое дуновение ветра снимет это вырождение, а для неприводимого представления вырождение защищено от ветра, имеющего симметрию гамильтониана.

[illuminates]

А можете объяснить еще такую вещь.
Ситуация: Взяли частицу со спинов 1/2. Включили поле. Произошло расщепление на два уровня.
Объяснение ситуации: Так как система в начале была изолирована, то её гамильтониан коммутировал с оператором трёхмерных вращений (=оператором полного углового момента $J$). Следовательно гамильтониан был по отношению оператору вращения в неприводимом представлении. А после включения поля система стала не изолированной со всеми вытекающими последствиями.
Вопрос: Почему именно в неприводимом? Почему не в инвариантном?
Так оператор $J$ коммутирует со своими проекциями, то пространство гамильтониана не может быть неприводимым по отношении к одному $J$.
(Я руководствуюсь тем, что пространство оператора $A$ наз неприводимым пространством относительно действия оператора $B$, если не существует иного пространства, являющегося инвариантным относительно действия оператора $B$. A условием инвариантности пространства оператора $A$ относительно действия оператора $B$ является то, что операторы $B$ и $A$ коммутируют. До более сложных определений я пока ещё не дорос)

[amon]

illuminates в сообщении #956285 писал(а):

Так как система в начале была изолирована, то её гамильтониан коммутировал с оператором трёхмерных вращений (=оператором полного углового момента $J$). Следовательно гамильтониан был по отношению оператору вращения в неприводимом представлении.

У Вас имеет место некоторая каша в голове из терминов, к которым не пришпилено ясного понимания что они означают. Я со своим рабоче-крестьянским подходом к математике тут боюсь неточностей наговорить. Поэтому почитайте сами что-нибудь про группы, их представления, группу SO(3) ее связь с группой SU(2) итп. Литературу я посоветовать не могу, поскольку хорошей (и тонкой!) книжки по теории групп и ее применении в физике я не знаю. Если кто знает (на любом языке) - буду очень признателен за информацию.

[illuminates]

Red_Herring в сообщении #956224 писал(а):

Тогда $\alpha_j$ дадут неприводимое представление и будут после унитарного преобразования обычными дираковскими.

А не подскажите как именно это происходит

[Red_Herring]

illuminates в сообщении #956302 писал(а):

А не подскажите как именно это происходит

Ну, рассмотрим ту самую систему с антикоммутаторами. Пусть размерность матриц $m$. Что мы видим? Каждая эрмитова, в квадрате дает $I$ и к тому же унитарно эквивалентна противоположной: $\sigma_j =-\sigma_k^{-1}\sigma _\sigma_k$ с $k\ne j$. Значит каждая из них унитарно эквивалентна $\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 &-I\end{pmatrix}$ где $I$ уже размерности $m/2$. Ну и можно считать что $\sigma_0=\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 &-I\end{pmatrix}$.

Тогда все остальные имеют вид $\begin{pmatrix} 0 & \beta\\ \beta^* &0\end{pmatrix}$ где $\beta^*\beta=I$. Докажите сами, что сохраняя $\sigma_0$ можно унитарно привести $\sigma_1$ к виду $\begin{pmatrix} 0 & iI\\ -iI &0\end{pmatrix}$ и тогда все остальные имеют вид $\begin{pmatrix} 0 & \beta_j\\ \beta_j &0\end{pmatrix}$ с эрмитовыми $\beta_j$ удовлетворяющими той же системе (но в размерности $m/2$) $j=2,3$.

Рассуждая также мы сделаем $\beta_2$ и $\beta_3$ как $\sigma_0$ и$\sigma_1$ (но в размерности $m/2$). Туда, кстати, можно еще всунуть $\sigma_4$ (определяется с точностью до множителя $\pm 1$. А если Вам надо $\sigma_5$ то $m$ уже делится на 8.

[Munin]

amon в сообщении #956294 писал(а):

Литературу я посоветовать не могу, поскольку хорошей (и тонкой!) книжки по теории групп и ее применении в физике я не знаю. Если кто знает (на любом языке) - буду очень признателен за информацию.

Есть Рубаков "Классические калибровочные поля", но вот насколько она хорошая - это вопрос к математикам. Но тонкая (собственно, главы про группы) - это точно.

Осмелюсь рекомендовать её, как минимум, как первое чтение.

[amon]

Munin в сообщении #956366 писал(а):

Есть Рубаков "Классические калибровочные поля"

Спасибо! Сейчас на нее гляну.