2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел
Сообщение04.01.2015, 03:59 
Аватара пользователя
Замучился. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ctg{x} -1}{x^2}$ Удалось свести к неопределенности $\infty-\infty$, но там все усложнилось. Привел следующим образом: $$f(x)=\left[\frac{1}{x\tg{x}} - \frac{1}{x^2}\right]=\frac{x^2-x\tg{x}}{x^3\tg{x}}$$ Тут, если аргумент к нулю устремить, получается неопределенность $(0/0)$, что позволяет использовать правило Лопиталя. Но оно тут не помогает. Как тут ещё поступить можно?

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 04:05 
Аватара пользователя
Оригинальные преобразования! Могли бы просто $\ctg x$ на $1/\tg x$ заменить. Или на $\frac{\cos x}{\sin x}$. Причем множитель (не слагаемое) $\sin x$ можно заменить на $x$ (почему?).

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 04:24 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #956094 писал(а):
почему?.
Не знаю.. Но так поступают, если аргумент достаточно мал. И ещё это можно получить, если разложить синус в ряд Маклорена. Ну и что? Я не знаю, почему это можно сделать.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 04:37 
Аватара пользователя
Забавный предел и не такой простой как может показаться на первый взгляд. Синкус и косинус в отношении в числителе каждый надо разложить до 2-го члена и оставить о-малое от $x^3$, тогда предел возьмётся.
$$x\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\operatorname{sinc}x}$$

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 05:48 
Так можно сделать из-за того, что мы можем домножить sin x на x и поделить, и получится
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x \sin x f(x)}{x} =$\lim\limits_{x\to 0} {x f(x)}
по второму замечательному пределу (или по разложению $\sin x$ в ряд Маклорена).

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 11:20 
Аватара пользователя
Люди, не усложняйте! Переход к тангенсу и Лопиталь, только не забывать про эквивалентность, чтобы функции были попроще.
Tookser в сообщении #956102 писал(а):
Так можно сделать из-за того, что мы можем домножить sin x на x и поделить, и получится

Или сразу применить эквивалентность $\sin x\sim x , x\to 0$, что является краткой записью этих действий. Кстати, и $\tg x \sim x , x\to 0$

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 13:58 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #956133 писал(а):
Или сразу применить эквивалентность $\sin x\sim x , x\to 0$, что является краткой записью этих действий. Кстати, и $\tg x \sim x , x\to 0$
Я же написал про то, что этих оценок здесь мало. Нужны более точные:
$$\begin{matrix}
  \sin x=x-\frac{{{x}^{3}}}{6}+o\left( {{x}^{4}} \right) \\ 
  \cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2}+o\left( {{x}^{3}} \right) \\ 
  x\cot x=\frac{x\cos x}{\sin x}=\frac{x\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{2}+o\left( {{x}^{3}} \right) \right)}{x\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{6}+o\left( {{x}^{3}} \right) \right)}= \\ 
  =\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{2}+o\left( {{x}^{3}} \right) \right)\left( 1+\frac{{{x}^{2}}}{6}+o\left( {{x}^{3}} \right) \right)= \\ 
  =1-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{2}}}{6}+o\left( {{x}^{3}} \right)=1-\frac{{{x}^{2}}}{3}+o\left( {{x}^{3}} \right) \\ 
\end{matrix}$$
Ответом будет разность коэффициентов при вторых членах в разложениях синуса и косинуса в ряд Тейлора в нуле.

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #956133 писал(а):
и Лопиталь
Наш лектор, когда речь заходит про вычисление пределов, частенько говорит, что мы, когда будем в Париже, обязательно пришли на могилу маркиза де Лопиталя и смачно плюнули неё. За то, что этот негодяй придумал и научил людей бездумному приёму, который скрывает от них суть и без которого в простых случаях легко обойтись, а в сложных люди не знают как его применять.

Надо сказать, что я с ним полностью согласен.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 14:30 
Аватара пользователя
B@R5uk
Вместо этой громоздкости достаточно правила Лопиталя, если не применять его бездумно, а по ходу упрощать выражение с помощью эквивалентностей.

Я тоже на первой контрольной по пределам запрещаю пользоваться Лопиталем. Чтобы "почувствовали" функции. Но совсем отказываться от удобного инструмента - это уж глупость (это я смягчила выражения). И не надо слова лектора понимать слишком уж буквально.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 14:30 

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #956176 писал(а):
Наш лектор, когда речь заходит про вычисление пределов, частенько говорит, что мы, когда будем в Париже, обязательно пришли на могилу маркиза де Лопиталя и смачно плюнули неё. За то, что этот негодяй придумал и научил людей бездумному приёму, который скрывает от них суть и без которого в простых случаях легко обойтись, а в сложных люди не знают как его применять.
Строго говоря, плевать надо (если надо) на могилу Иоганна Бернулли. "Правило Лопиталя" придумал именно он, а Лопиталь был автором учебника по матанализу, сделавшим этот результат общеизвестным.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 14:32 
Аватара пользователя

(B@R5uk)

B@R5uk в сообщении #956176 писал(а):
Я же написал про то, что этих оценок здесь мало.
Друг мой, вы загляните в мой профиль и немножко сбавьте тон. Я этих пределов за свою жизнь и взяла и рассказала немеряно. Есть ведь еще и методика преподавания, знаете ли.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 14:40 
 !  B@R5uk
Замечание за практически полное решение простой учебной задачи.


(Оффтоп)

К тому же нерациональное - так Тейлором и убиться можно. Преобразовали бы сперва.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 17:37 
Аватара пользователя
Я не понял где я ошибся, но извиняюсь.
Pphantom в сообщении #956191 писал(а):
"Правило Лопиталя" придумал именно он
Забавно, надо будет лектора спросить, знает ли он.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение04.01.2015, 17:41 
Спросите. Но вапщета, это пишут в каждом учебнике по анализу. Где-нибудь в сносках или в скобках.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group