Вторая производная

[awesomeleni]

Neos в сообщении #954606 писал(а):

awesomeleni, что за учебник ? Геометрический смысл первой производной - просто тангенс угла наклона касательной к кривой.. Смысл второй, представляете как поворот этой касательной по часовой стрелке$(-)$ или против $(-)$, в зависимости от знака. Именно как изменение наклона касательной. Вторая производная говорит о вогнутости или выпуклости кривой. У первых двух геометрическая интерпретация еще есть. У остальных - вопрос. Поэтому, смотрите на производную $n-$го порядка как на первую производную от от производной $(n-1)$ порядка. И не парьтесь, если только начали изучать анализ. Просто считайте. Дайте себе привыкнуть к этим понятиям.

учебник (стр.19) - http://ancient.hydro.nsc.ru/ephys/lectures/mechan.pdf, соответственно отсюда http://ancient.hydro.nsc.ru/ephys/
вообще, мне Ваше объяснение понравилось (укладывается в голове) - спасибо! и про производную $n-$го порядка, тоже интересный взгляд.

-- 31.12.2014, 01:07 --

provincialka в сообщении #954701 писал(а):

awesomeleni в сообщении #954698 писал(а):

то есть с некоторой определенной точностью представить саму функцию в виде параболы вблизи некоторой точки?

Да. И там как раз второй дифференциал делится пополам.

Спасибо

provincialka в сообщении #954701 писал(а):

Но вообще-то вашу книжку я, как математик не могу читать... "Второй дифференциал можно рассматривать как вторую разность при $\Delta t$ стремящемся к 0. М-да... Для математика $\Delta t$ в дифференциале не стремится к 0. Хотя, конечно при желании можно это сделать.

К слову, разбираюсь попутно с анализом, поэтому не могли бы Вы уточнить, что имеете ввиду, когда говорите про $\Delta t$ в дифференциале?
Потому что на данный момент я понимаю дифференциал следующим образом:
$d[f(t)] = f'(t)dt$
Или его действительно следует понимать как
$d[f(t)] = f'(t)\Delta t$?
но тогда почему (в физике ?) переходят к $dt$? или это просто вопрос обозначения (в физике) оО

[provincialka]

Это просто вопрос обозначений. И в физике, и в математике. Для независимой переменной дифференциал по определению равен приращению. Это удобно по некоторым причинам (например, в свойстве инвариантности формы первого дифференциала)

[awesomeleni]

provincialka в сообщении #954709 писал(а):

Это просто вопрос обозначений. И в физике, и в математике. Для независимой переменной дифференциал по определению равен приращению. Это удобно по некоторым причинам (например, в свойстве инвариантности формы первого дифференциала)

Здорово! спасибо ) и про инвариантность формы дифференциала - раньше не встречалось, а теперь давний вопрос с обозначениями становится более понятным

[VanD]

provincialka в сообщении #954709 писал(а):

Это просто вопрос обозначений. И в физике, и в математике. Для независимой переменной дифференциал по определению равен приращению. Это удобно по некоторым причинам (например, в свойстве инвариантности формы первого дифференциала)

Хм, мне казалось, что это не совсем так. Формально для $\mathbb{R}^n$ можно считать, что координаты касательного вектора есть координаты конца минус координаты начала, вот и получится что $dt$ на векторе совпадёт с $\Delta t$. Но при переходе к гладким многообразиям становится уже не совсем понятно, что такое $\Delta t$, так как интерпритация "координаты конца" теряет смысл. Можно возразить, что эта интерпритация имеет место в рамках конкретной карты, например, но это будет неудобно, надо будет заботиться, чтобы конец всякого вектора в такой интерпретации лежал в образе рассматриваемой области при рассматриваемом координатном гомеоморфизме, то есть координатные гомеоморфизмы можно будет брать только в $\mathbb{R}^n$. Технически, к такому можно обязать без потери общности, но иногда это может быть неудобно. Поэтому, наверно, при работе с многообразиями обозначением $\Delta t$ в подобных ситуациях пользуются редко (или вообще не пользуются), отдавая предпочтение в пользу $dt$.

Может для ТС этот нюанс ещё не имеет смысла, но мне самому интересно, справедливо ли это замечание впринципе)

[provincialka]

VanD
Эк вы загнули! Может, стоит этот вопрос в отдельной теме задать?