Нелинейная система диффуров

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #953675 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953673 писал(а):

Зачем я это делал?

Ни зачем. Вот если в знаменателе 0 это сразу дает информацию о числителе. А там - дифференциал некоторого выражения. И когда он равен 0?

Пропорция - это деление. Делить на ноль нельзя ни в таком виде, ни в пределе, никак. Почему я должен использовать записи, которые запрещены математикой? Такие обозначения надо выжечь напалмом из математики.

Курс диффуров надо начинать с разъяснения подобных обозначений и специфических арифметических операций, которые кроме как в диффурах почти нигде не применяются. Но почему-то больше внимания уделяют определениям типа: что такое фазовое пространство или устойчивый узел, хотя там понимать ничего не надо, достаточно просто механически запомнить.

[provincialka]

Дело в том, что курс дифуров идет уже после курса линейной алгебры. А там такие обозначения используют в каноническом уравнении прямой. Например, здесь есть объяснение о нулях

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #953702 писал(а):

Дело в том, что курс дифуров идет уже после курса линейной алгебры. А там такие обозначения используют в каноническом уравнении прямой. Например, здесь есть объяснение о нулях

Что-то мне не попадались на линале уравнения, где в знаменателе ноль.
Это дробь? Дробь. В знаменателе ноль, на ноль делить нельзя, значит, такие обозначения не нужны. Какой бы смысл в него не вкладывали, факт остается фактом: там записано деление на ноль.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes]
Я вам ссылку дала? Дала. Вот и читайте. Там все написано. Это просто условность, соглашение.

[arseniiv]

Nurzery[Rhymes]
(Уж точно корректной) альтернативой записи

$$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} = \frac{a''}{b''} = \frac{a'''}{b'''} = \ldots$$

является запись

$$ab' = a'b \wedge ab'' = a''b \wedge ab''' = a'''b \wedge \ldots$$

Не сказать чтобы настолько же прозрачная.

А вообще выход есть: долой канонические уравнения прямой!

[Nurzery[Rhymes]]

А в этом примере вообще можно сделать ноль в знаменателе? Как бы я ни распределял множители 1 и -1 между дробями, всегда получается -2 умноженная на какую-то переменную.

[provincialka]

В этом примере - нельзя. Знатоку линейной алгебры это должно быть очевидно.

provincialka в сообщении #953675 писал(а):

Можно подобрать коэффициенты так, чтобы "сверху" и "снизу" была одна и та же комбинация переменных (с точностью до множителя).

[Nurzery[Rhymes]]

Больше двойки коэффициенты тут вряд ли будут, но с двойками и единицами я не могу сделать одинаковую комбинацию сверху и снизу. Если распределять между дробями множитель единицу с разными знаками, то одна переменная уничтожается. Если использовать двойки, то какие-то дифференциалы удваиваются, но соответствующая им переменная имеет другой коэффициент. Как делать этот подбор?

[provincialka]

Обозначить буквами и решить линейную систему.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #953729 писал(а):

Обозначить буквами и решить линейную систему.

Не представляю, как это сделать. Допустим, нужная дробь уже получена и имеет вид

$\frac{d(ax + by + cz)}{a(y+z) +b(x+z) + c(x+y)}$

Выражение $ax + by + cz = a(y+z) +b(x+z) + c(x+y)$ совсем не похоже на систему. Искать фундаментальную систему решений этого единственного уравнения и выбрать наименьшие коэффициенты?

[provincialka]

Нет, там не равенство, а пропорциональность. Введите коэффициент (например, слева) и приведите подобные. Все коэффициенты при $x,y,z$ должны обратиться в 0.
Если вы знаете об определителях, то коэффициент пропорциональности найдете легко

(Оффтоп)

что-то, напоминающее собственное значение

[Nurzery[Rhymes]]

Вот так?

$k(ax+by+cz) = ay + az + bx + bz + cx + cy$

$\left\{ \begin{array}{rcl} &kax=(b+c)x& \\ &kby=(a+c)y& \\ &kcz=(a+b)z&\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} &ka=b+c& \\ &kb=a+c& \\ &kc=a+b&\\ \end{array} \right.$

[provincialka]

Не уверена, что этот способ решения (исходной системы) лучший. Я просто сказала, что так можно сделать.
Может, лучше было обозначить выражения из знаменателя за новые переменные...

[Otta]

Извините за вторжение,
Nurzery[Rhymes]
А в чем проблема-то у Вас? Систему Вы давно решили (в стартовом посте выкинуть половину и будет то, что надо). Что-то еще нужно?

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #953752 писал(а):

Извините за вторжение,
Nurzery[Rhymes]
А в чем проблема-то у Вас? Систему Вы давно решили (в стартовом посте выкинуть половину и будет то, что надо). Что-то еще нужно?

Хочу хорошо разобраться в решении таких систем. За решение системы, с которой я начал тему, мне ничего не будет, но на зачете будет задание на решение задачи Коши, где надо найти решение, проходящее через поверхности, и мне надо хорошо понимать методы решения систем, которые при этом понадобятся.

-- 29.12.2014, 00:51 --

А если сверху и снизу получились одинаковые выражения, как тогда интегрировать уравнение? Вот задача: решить уравнение в частных производных и найти интегральную поверхность, которая проходит через поверхности $y=2z$ и $x+2y=z$.

$x\frac{\partial z}{\partial x} + z\frac{\partial z}{\partial y} = y$

Составляю систему:

$\frac{dy}{z}=\frac{dz}{y}$

$ydy=zdz$

$y^2 - z^2 = C_1$

Теперь надо найти второй первый интеграл. Можно все дроби умножить на 1 и сложить:

$\frac{dx+dy+dz}{x+y+z}$

Как отсюда найти функцию, если эта дробь ничему не равняется?