2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение24.12.2014, 17:34 


17/12/13

97
Skeptic в сообщении #951477 писал(а):
Построим на закруглении квадрат (красный). Сторона квадрата и радиус закругления равны $r$. Искомая площадь - разность между площадью квадрата и площадью четверти круга $r^2-\frac\pi 4 r^2$. У вас эта площадь $S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2$.

Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$. Этот размер находится из численного моделирования угловых участков свободной поверхности жидкости, сжатой в прямом параллелепипеде. Кроме этого, закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

-- 24.12.2014, 17:40 --

levtsn в сообщении #951453 писал(а):
А мне кажется не будет там цилиндрических поверхностей, только приближение кним

При определенной степени сжатия под ребрами сжимающего многогранника
появляются цилиндрические участки свободной поверхности - это так же можно доказать.

-- 24.12.2014, 17:46 --

hurtsy в сообщении #951551 писал(а):
kavict в сообщении #946913 писал(а):
Учитывая это, можно предположить, что данная кривая относится к какому-то особому классу, может быть еще неизвестному.

Предполагайте и даже располагайте, как вам удобно. :-) Насчет неизвестности, есть сомнения. Но вы можете считать клас неизвестным, если он вам неизвестен. Надеюсь множество так определенных классов будет непустым. А если вам нужна дискуссия, то обратитесь к модератору. Если вы заметили, у физиков тоже имеются дискуссионные темы. С уважением.

Верно, мне нужна дискуссия, и я ее получил. На то он и форум. А Вы о чем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение24.12.2014, 18:44 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
kavict в сообщении #951613 писал(а):
закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.
Интересно, дуга so-called supercircle подойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение24.12.2014, 18:58 


01/12/11

1047
kavict в сообщении #951613 писал(а):
Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$. Этот размер находится из численного моделирования угловых участков свободной поверхности жидкости, сжатой в прямом параллелепипеде. Кроме этого, закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

Кривая на всех рисунках обозначена как окружность, с указанием радиуса $r$. Площадь считается, как часть круга.

Если говорить об обсуждаемой кривой $$
y=r\left(0.0321\left(\frac x r\right)^3-0.0145\left(\frac x r\right)^4\\
+0.0049\left(\frac x r\right)^5+0.0008\left(\frac x r\right)^6\right),
$$
то при радиусе $r=1$ $y(0)=0$, на интервале $x(0,0.223)$ $y>0$, а на интервале $x(0.223,1)$ $y<0$, т.е. кривая в начале проходит выше оси $x$. На вертикальной стенке $y(1)=-0.107$, Если подсчитать площадь над этой линией, то она равняется 0.087. Если считать через радиус, то получим 0,785.

Но главное, эта кривая не касается вертикальной стенки, а пересекается с ней. Она никак не подходит на роль линии натяжения поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение24.12.2014, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
hurtsy в сообщении #951551 писал(а):
Если вы заметили, у физиков тоже имеются дискуссионные темы.

Здесь вот какой момент. Конечно, эта тема ближе к физическому форуму, но вопрос ТС сформулирован и имеет смысл в рамках неких математических соотношений, независимо от физических интерпретаций.

kavict
Имело бы смысл загрузить пару 3D-картинок из упомянутой выше книги. Это не сложно -- только что я потратил несколько минут, чтобы научиться этому в первый раз:
Изображение
Плоские картинки действительно сбивают с толку, а упоминание в окончательной формуле круга с радиусом $r$ особенно. Лучше было оговориться "с таким же радиусом" или как-то намекнуть, что это совершенно другой объект. Подробности посмотрел в книге (пока по диагонали) -- впечатление создаёт вменяемое и стало сколько-то интересно. Жаль, мне немного не хватает физической интуиции. Пока интерес не затухнет, буду смотреть дальше.
kavict в сообщении #951613 писал(а):
Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$

В книге 3.941. Где-то опечатка?

-- 24.12.2014, 20:08 --

Skeptic
Вы идёте по моим стопам, поэтому я рискну вмешаться -- ТС находится в своей (уж точно более правильной) парадигме и ему сложно понять наши трудности :)
Речь идёт о поверхности. Посмотрите в Вики про среднюю кривизну и про главные кривизны. Ну и мой комментарий с рисунком выше может чем-то поможет. Для понимания лучше, конечно, посмотреть все рисунки в начале упомянутой книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение25.12.2014, 17:56 


17/12/13

97
Aritaborian в сообщении #951651 писал(а):
kavict в сообщении #951613 писал(а):
закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.
Интересно, дуга so-called supercircle подойдёт?
Очень похоже. Проверю и доложу.

-- 25.12.2014, 18:06 --

Skeptic в сообщении #951658 писал(а):
Кривая на всех рисунках обозначена как окружность, с указанием радиуса $r$.
К этой кривой я нигде не прикладывал радиус $r$.
Там, где он обозначен, там, действительно, дуга окружности, а не обсуждаемая кривая. Полностью согласен с grizzly - этими радиусами я внес много неразберихи.

-- 25.12.2014, 18:35 --

Skeptic в сообщении #951658 писал(а):
Если говорить об обсуждаемой кривой $$
y=r\left(0.0321\left(\frac x r\right)^3-0.0145\left(\frac x r\right)^4\\
+0.0049\left(\frac x r\right)^5+0.0008\left(\frac x r\right)^6\right),
$$
то при радиусе $r=1$ $y(0)=0$, на интервале $x(0,0.223)$ $y>0$, а на интервале $x(0.223,1)$ $y<0$, т.е. кривая в начале проходит выше оси $x$. На вертикальной стенке $y(1)=-0.107$, Если подсчитать площадь над этой линией, то она равняется 0.087. Если считать через радиус, то получим 0,785.

Но главное, эта кривая не касается вертикальной стенки, а пересекается с ней. Она никак не подходит на роль линии натяжения поверхности.
Что-то непонятно. Еще раз проверил на Mathematica - у меня все правильно, кривая нигде не пересекает ось $x$. Еще прошу обратить внимание - приведенное выражение описывает не всю кривую, а только половину, участок $AB$.

-- 25.12.2014, 18:51 --

grizzly в сообщении #951660 писал(а):
kavict
kavict в сообщении #951613 писал(а):
Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$

В книге 3.941. Где-то опечатка?]
Уважаемый grizzly, Ваши замечания для меня бесценны. Демонстрирую их действия:Изображение
Эта картинка приведена для ответа на Ваш вопрос. Опечатки нигде нет - в книге приведено значение размера $d$, а сторона квадрата меньше этого размера на величину $r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение26.12.2014, 15:55 


01/07/08
836
Киев
kavict в сообщении #951613 писал(а):
Верно, мне нужна дискуссия, и я ее получил. На то он и форум. А Вы о чем?

Мне почудилось, что дискуссия заглохла. Я не прав. :wink: Ваше уравнение является безразмерным и приближенным. Очевидно , вы не указали абсолютные размеры, область изменения по x-ам и y-ам. Стало бы понятно почему вас удовлетворяет точность коэффициентов 4-ре знака после запятой. Ведь при увеличении размерной единицы в 10 раз(переход от сантиметров к миллиметрам) коэфициенты достаточно с 3-мя знаками. При рассмотрении абстрактной жидкости нужно учитывать, что существуют такие малые размеры, что жидкость нельзя считать жидкостью. В физике вашей задачи нужно знать пределы температур, давлений и наконец прочности. А иначе вашу задачу нельзя отнести ни к физике, ни к математике, ни к вычислительной математике(ведь Mathematica которую вы используете принадлежит к разделу вычислительной математики). Скорее это философская проблема. С уважением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение26.12.2014, 16:51 


21/08/13

784
Там ведь будут еще и сферические участки при вершинах. А что в этом нового?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение26.12.2014, 18:17 


17/12/13

97
hurtsy в сообщении #952583 писал(а):
Ваше уравнение является безразмерным и приближенным. Очевидно , вы не указали абсолютные размеры, область изменения по x-ам и y-ам. Стало бы понятно почему вас удовлетворяет точность коэффициентов 4-ре знака после запятой. Ведь при увеличении размерной единицы в 10 раз(переход от сантиметров к миллиметрам) коэфициенты достаточно с 3-мя знаками.
Совершенно верно, это уравнение является и безразмерным и приближенным. Почему оно приближенное, я уже сообщал - оно получено путем численного моделирования поверхности.
А вот почему оно безразмерное, нужно объяснить подробно.
Свободная поверхность жидкого тела, сжатого в многограннике, начиная с некоторого момента сжатия и далее, имеет два типа участков - цилиндрические (под ребрами) и угловые (под трехгранными углами многогранника). Наша кривая является частью углового участка поверхности. При сжатии угловые участки сохраняют подобие, хотя их абсолютные размеры уменьшаются, соответственно и кривая не меняет своей формы, но уменьшается в размерах. Поэтому приведенное уравнение описывает именно форму кривой, не привязываясь к абсолютным размерам.

-- 26.12.2014, 18:26 --

hurtsy в сообщении #952583 писал(а):
При рассмотрении абстрактной жидкости нужно учитывать, что существуют такие малые размеры, что жидкость нельзя считать жидкостью. В физике вашей задачи нужно знать пределы температур, давлений и наконец прочности. А иначе вашу задачу нельзя отнести ни к физике, ни к математике, ни к вычислительной математике(ведь Mathematica которую вы используете принадлежит к разделу вычислительной математики). Скорее это философская проблема. С уважением.

Жидкость поэтому и названа абстрактной, что ее физические параметры не рассматриваются. Она является жидкостью в любых размерах. Мы рассматриваем только геометрический аспект ее поведения.

-- 26.12.2014, 18:32 --

ratay в сообщении #952607 писал(а):
Там ведь будут еще и сферические участки при вершинах. А что в этом нового?
При вершинах находятся не сферические участки. Это сложные поверхности, имеющие три плоскости симметрии и только одну омбилическую точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение27.12.2014, 08:27 


01/12/11

1047
Формула имеет размерность - первый сомножитель $r$.
В ней другая ошибка, части $AB$ и $BC $ кривой $ABC$ в точке $B$ пересекаются под углом, т.е. кривая негладкая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение27.12.2014, 15:03 


01/12/11

1047
С переменной $r$ нет никакой путаницы. $r$ - радиус закругления поверхности жидкости на прямолинейном участке пятна контакта. Формула выражает радиус $R$ скругления пятна контакта через радиус $r$. Эти радиусы равны ( и примерно равны по формуле ).
Остаётся открытым вопрос площадью $S=\frac \pi 4 r^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение27.12.2014, 15:59 


01/07/08
836
Киев
Skeptic в сообщении #952959 писал(а):
В ней другая ошибка, части $AB$ и $BC $ кривой $ABC$ в точке $B$ пересекаются под углом, т.е. кривая негладкая.

ТС декларирует симетричность кривой относительно биссектрисы. Отсюда следует ортогональность кривой и биссектрисы в точке В, и не приближенная а точная. :mrgreen: Без выполнения этого условия дискуссия не имеет смысла. С уважением.

-- Сб дек 27, 2014 16:05:26 --

Доказательство - обязанность kavict.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение27.12.2014, 19:17 


17/12/13

97
Skeptic в сообщении #952959 писал(а):
Формула имеет размерность - первый сомножитель $r$.
В ней другая ошибка, части $AB$ и $BC $ кривой $ABC$ в точке $B$ пересекаются под углом, т.е. кривая негладкая.
Вы правы - формула имеет размерность - ординаты кривой выражены через размер $r$.
А вот что касается пересечения под углом частей кривой в точке $B$, то это неверно - кривая должна быть гладкой. Если какое-то несопряжение и есть, то это проявление приближенности аппроксимации.
Кстати, предложенная Aritaborian кривая лишена этого недостатка.

-- 27.12.2014, 20:07 --

Skeptic в сообщении #953077 писал(а):
С переменной $r$ нет никакой путаницы. $r$ - радиус закругления поверхности жидкости на прямолинейном участке пятна контакта. Формула выражает радиус $R$ скругления пятна контакта через радиус $r$. Эти радиусы равны ( и примерно равны по формуле ).
Остаётся открытым вопрос площадью $S=\frac \pi 4 r^2$.
Приведенная формула ($y=r(...)$) выражает ординаты кривой, но никак не радиус скруглений пятна контакта. Разговор о радиусе скруглений не имеет смысла - эти скругления описаны не дугой окружности, о чем уже говорилось, а сложной кривой. Кроме этого, размер всей кривой $ABC$ вдоль оси абсцисс равен $2.941r$, поэтому равенства этой кривой с дугой окружности радиуса $r$ нет и близко. Так что выражение $S_{ABCD}=\frac \pi 4 r^2$ остается в силе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение27.12.2014, 20:18 


17/12/13

97
hurtsy в сообщении #953102 писал(а):
ТС декларирует симетричность кривой относительно биссектрисы. Отсюда следует ортогональность кривой и биссектрисы в точке В, и не приближенная а точная. :mrgreen: Без выполнения этого условия дискуссия не имеет смысла. С уважением.
Гладкость кривой, а так же ее симметричность относительно биссектрисы угла стенки контейнера, а отсюда - ортогональность кривой и биссектрисы в точке $B$ - бесспорны.

-- 27.12.2014, 20:23 --

hurtsy в сообщении #953102 писал(а):
Доказательство - обязанность kavict.
Найду более точное выражение кривой, тогда и докажу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение28.12.2014, 08:42 


01/12/11

1047
kavict , вы нарисуйте кривую, и всё станет ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неизвестная кривая?
Сообщение28.12.2014, 15:04 


01/12/11

1047
kavict, я совсем запутался.
На последнем рисунке кривые $QR$ и $VU$ в точности соответствуют большой формуле, и не имеют никакого отношения к кривой $ABC$, показанной на этом рисунке как $BSE$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group