Неизвестная кривая?

[kavict]

Skeptic в сообщении #951477 писал(а):

Построим на закруглении квадрат (красный). Сторона квадрата и радиус закругления равны $r$. Искомая площадь - разность между площадью квадрата и площадью четверти круга $r^2-\frac\pi 4 r^2$. У вас эта площадь $S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2$.

Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$. Этот размер находится из численного моделирования угловых участков свободной поверхности жидкости, сжатой в прямом параллелепипеде. Кроме этого, закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

-- 24.12.2014, 17:40 --

levtsn в сообщении #951453 писал(а):

А мне кажется не будет там цилиндрических поверхностей, только приближение кним

При определенной степени сжатия под ребрами сжимающего многогранника
появляются цилиндрические участки свободной поверхности - это так же можно доказать.

-- 24.12.2014, 17:46 --

hurtsy в сообщении #951551 писал(а):

kavict в сообщении #946913 писал(а):

Учитывая это, можно предположить, что данная кривая относится к какому-то особому классу, может быть еще неизвестному.

Предполагайте и даже располагайте, как вам удобно. Насчет неизвестности, есть сомнения. Но вы можете считать клас неизвестным, если он вам неизвестен. Надеюсь множество так определенных классов будет непустым. А если вам нужна дискуссия, то обратитесь к модератору. Если вы заметили, у физиков тоже имеются дискуссионные темы. С уважением.

Верно, мне нужна дискуссия, и я ее получил. На то он и форум. А Вы о чем?

[Aritaborian]

kavict в сообщении #951613 писал(а):

закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

Интересно, дуга so-called supercircle подойдёт?

[Skeptic]

kavict в сообщении #951613 писал(а):

Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$. Этот размер находится из численного моделирования угловых участков свободной поверхности жидкости, сжатой в прямом параллелепипеде. Кроме этого, закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

Кривая на всех рисунках обозначена как окружность, с указанием радиуса $r$. Площадь считается, как часть круга.

Если говорить об обсуждаемой кривой

$$ y=r\left(0.0321\left(\frac x r\right)^3-0.0145\left(\frac x r\right)^4\\ +0.0049\left(\frac x r\right)^5+0.0008\left(\frac x r\right)^6\right), $$

то при радиусе $r=1$ $y(0)=0$, на интервале $x(0,0.223)$ $y>0$, а на интервале $x(0.223,1)$ $y<0$, т.е. кривая в начале проходит выше оси $x$. На вертикальной стенке $y(1)=-0.107$, Если подсчитать площадь над этой линией, то она равняется 0.087. Если считать через радиус, то получим 0,785.

Но главное, эта кривая не касается вертикальной стенки, а пересекается с ней. Она никак не подходит на роль линии натяжения поверхности.

[grizzly]

hurtsy в сообщении #951551 писал(а):

Если вы заметили, у физиков тоже имеются дискуссионные темы.

Здесь вот какой момент. Конечно, эта тема ближе к физическому форуму, но вопрос ТС сформулирован и имеет смысл в рамках неких математических соотношений, независимо от физических интерпретаций.

kavict
Имело бы смысл загрузить пару 3D-картинок из упомянутой выше книги. Это не сложно -- только что я потратил несколько минут, чтобы научиться этому в первый раз:

Плоские картинки действительно сбивают с толку, а упоминание в окончательной формуле круга с радиусом $r$ особенно. Лучше было оговориться "с таким же радиусом" или как-то намекнуть, что это совершенно другой объект. Подробности посмотрел в книге (пока по диагонали) -- впечатление создаёт вменяемое и стало сколько-то интересно. Жаль, мне немного не хватает физической интуиции. Пока интерес не затухнет, буду смотреть дальше.

kavict в сообщении #951613 писал(а):

Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$

В книге 3.941. Где-то опечатка?

-- 24.12.2014, 20:08 --

Skeptic
Вы идёте по моим стопам, поэтому я рискну вмешаться -- ТС находится в своей (уж точно более правильной) парадигме и ему сложно понять наши трудности :)
Речь идёт о поверхности. Посмотрите в Вики про среднюю кривизну и про главные кривизны. Ну и мой комментарий с рисунком выше может чем-то поможет. Для понимания лучше, конечно, посмотреть все рисунки в начале упомянутой книги.

[kavict]

Aritaborian в сообщении #951651 писал(а):

kavict в сообщении #951613 писал(а):

закругление в красном квадрате - не дуга окружности, а обсуждаемая кривая.

Интересно, дуга so-called supercircle подойдёт?

Очень похоже. Проверю и доложу.

-- 25.12.2014, 18:06 --

Skeptic в сообщении #951658 писал(а):

Кривая на всех рисунках обозначена как окружность, с указанием радиуса $r$.

К этой кривой я нигде не прикладывал радиус $r$.
Там, где он обозначен, там, действительно, дуга окружности, а не обсуждаемая кривая. Полностью согласен с grizzly - этими радиусами я внес много неразберихи.

-- 25.12.2014, 18:35 --

Skeptic в сообщении #951658 писал(а):

Если говорить об обсуждаемой кривой

$$ y=r\left(0.0321\left(\frac x r\right)^3-0.0145\left(\frac x r\right)^4\\ +0.0049\left(\frac x r\right)^5+0.0008\left(\frac x r\right)^6\right), $$

то при радиусе $r=1$ $y(0)=0$, на интервале $x(0,0.223)$ $y>0$, а на интервале $x(0.223,1)$ $y<0$, т.е. кривая в начале проходит выше оси $x$. На вертикальной стенке $y(1)=-0.107$, Если подсчитать площадь над этой линией, то она равняется 0.087. Если считать через радиус, то получим 0,785.

Но главное, эта кривая не касается вертикальной стенки, а пересекается с ней. Она никак не подходит на роль линии натяжения поверхности.

Что-то непонятно. Еще раз проверил на Mathematica - у меня все правильно, кривая нигде не пересекает ось $x$. Еще прошу обратить внимание - приведенное выражение описывает не всю кривую, а только половину, участок $AB$.

-- 25.12.2014, 18:51 --

grizzly в сообщении #951660 писал(а):

kavict

kavict в сообщении #951613 писал(а):

Сторона квадрата, который Вы обозначили, равна $2.941r$

В книге 3.941. Где-то опечатка?]

Уважаемый grizzly, Ваши замечания для меня бесценны. Демонстрирую их действия:
Эта картинка приведена для ответа на Ваш вопрос. Опечатки нигде нет - в книге приведено значение размера $d$, а сторона квадрата меньше этого размера на величину $r$.

[hurtsy]

kavict в сообщении #951613 писал(а):

Верно, мне нужна дискуссия, и я ее получил. На то он и форум. А Вы о чем?

Мне почудилось, что дискуссия заглохла. Я не прав. Ваше уравнение является безразмерным и приближенным. Очевидно , вы не указали абсолютные размеры, область изменения по x-ам и y-ам. Стало бы понятно почему вас удовлетворяет точность коэффициентов 4-ре знака после запятой. Ведь при увеличении размерной единицы в 10 раз(переход от сантиметров к миллиметрам) коэфициенты достаточно с 3-мя знаками. При рассмотрении абстрактной жидкости нужно учитывать, что существуют такие малые размеры, что жидкость нельзя считать жидкостью. В физике вашей задачи нужно знать пределы температур, давлений и наконец прочности. А иначе вашу задачу нельзя отнести ни к физике, ни к математике, ни к вычислительной математике(ведь Mathematica которую вы используете принадлежит к разделу вычислительной математики). Скорее это философская проблема. С уважением.

[ratay]

Там ведь будут еще и сферические участки при вершинах. А что в этом нового?

[kavict]

hurtsy в сообщении #952583 писал(а):

Ваше уравнение является безразмерным и приближенным. Очевидно , вы не указали абсолютные размеры, область изменения по x-ам и y-ам. Стало бы понятно почему вас удовлетворяет точность коэффициентов 4-ре знака после запятой. Ведь при увеличении размерной единицы в 10 раз(переход от сантиметров к миллиметрам) коэфициенты достаточно с 3-мя знаками.

Совершенно верно, это уравнение является и безразмерным и приближенным. Почему оно приближенное, я уже сообщал - оно получено путем численного моделирования поверхности.
А вот почему оно безразмерное, нужно объяснить подробно.
Свободная поверхность жидкого тела, сжатого в многограннике, начиная с некоторого момента сжатия и далее, имеет два типа участков - цилиндрические (под ребрами) и угловые (под трехгранными углами многогранника). Наша кривая является частью углового участка поверхности. При сжатии угловые участки сохраняют подобие, хотя их абсолютные размеры уменьшаются, соответственно и кривая не меняет своей формы, но уменьшается в размерах. Поэтому приведенное уравнение описывает именно форму кривой, не привязываясь к абсолютным размерам.

-- 26.12.2014, 18:26 --

hurtsy в сообщении #952583 писал(а):

При рассмотрении абстрактной жидкости нужно учитывать, что существуют такие малые размеры, что жидкость нельзя считать жидкостью. В физике вашей задачи нужно знать пределы температур, давлений и наконец прочности. А иначе вашу задачу нельзя отнести ни к физике, ни к математике, ни к вычислительной математике(ведь Mathematica которую вы используете принадлежит к разделу вычислительной математики). Скорее это философская проблема. С уважением.

Жидкость поэтому и названа абстрактной, что ее физические параметры не рассматриваются. Она является жидкостью в любых размерах. Мы рассматриваем только геометрический аспект ее поведения.

-- 26.12.2014, 18:32 --

ratay в сообщении #952607 писал(а):

Там ведь будут еще и сферические участки при вершинах. А что в этом нового?

При вершинах находятся не сферические участки. Это сложные поверхности, имеющие три плоскости симметрии и только одну омбилическую точку.

[Skeptic]

Формула имеет размерность - первый сомножитель $r$.
В ней другая ошибка, части $AB$ и $BC $ кривой $ABC$ в точке $B$ пересекаются под углом, т.е. кривая негладкая.

[Skeptic]

С переменной $r$ нет никакой путаницы. $r$ - радиус закругления поверхности жидкости на прямолинейном участке пятна контакта. Формула выражает радиус $R$ скругления пятна контакта через радиус $r$. Эти радиусы равны ( и примерно равны по формуле ).
Остаётся открытым вопрос площадью $S=\frac \pi 4 r^2$.

[hurtsy]

Skeptic в сообщении #952959 писал(а):

В ней другая ошибка, части $AB$ и $BC $ кривой $ABC$ в точке $B$ пересекаются под углом, т.е. кривая негладкая.

ТС декларирует симетричность кривой относительно биссектрисы. Отсюда следует ортогональность кривой и биссектрисы в точке В, и не приближенная а точная. Без выполнения этого условия дискуссия не имеет смысла. С уважением.

-- Сб дек 27, 2014 16:05:26 --

Доказательство - обязанность kavict.

[kavict]

Skeptic в сообщении #952959 писал(а):

Формула имеет размерность - первый сомножитель $r$.
В ней другая ошибка, части $AB$ и $BC $ кривой $ABC$ в точке $B$ пересекаются под углом, т.е. кривая негладкая.

Вы правы - формула имеет размерность - ординаты кривой выражены через размер $r$.
А вот что касается пересечения под углом частей кривой в точке $B$, то это неверно - кривая должна быть гладкой. Если какое-то несопряжение и есть, то это проявление приближенности аппроксимации.
Кстати, предложенная Aritaborian кривая лишена этого недостатка.

-- 27.12.2014, 20:07 --

Skeptic в сообщении #953077 писал(а):

С переменной $r$ нет никакой путаницы. $r$ - радиус закругления поверхности жидкости на прямолинейном участке пятна контакта. Формула выражает радиус $R$ скругления пятна контакта через радиус $r$. Эти радиусы равны ( и примерно равны по формуле ).
Остаётся открытым вопрос площадью $S=\frac \pi 4 r^2$.

Приведенная формула ($y=r(...)$) выражает ординаты кривой, но никак не радиус скруглений пятна контакта. Разговор о радиусе скруглений не имеет смысла - эти скругления описаны не дугой окружности, о чем уже говорилось, а сложной кривой. Кроме этого, размер всей кривой $ABC$ вдоль оси абсцисс равен $2.941r$, поэтому равенства этой кривой с дугой окружности радиуса $r$ нет и близко. Так что выражение $S_{ABCD}=\frac \pi 4 r^2$ остается в силе.

[kavict]

hurtsy в сообщении #953102 писал(а):

ТС декларирует симетричность кривой относительно биссектрисы. Отсюда следует ортогональность кривой и биссектрисы в точке В, и не приближенная а точная. Без выполнения этого условия дискуссия не имеет смысла. С уважением.

Гладкость кривой, а так же ее симметричность относительно биссектрисы угла стенки контейнера, а отсюда - ортогональность кривой и биссектрисы в точке $B$ - бесспорны.

-- 27.12.2014, 20:23 --

hurtsy в сообщении #953102 писал(а):

Доказательство - обязанность kavict.

Найду более точное выражение кривой, тогда и докажу.

[Skeptic]

kavict , вы нарисуйте кривую, и всё станет ясно.

[Skeptic]

kavict, я совсем запутался.
На последнем рисунке кривые $QR$ и $VU$ в точности соответствуют большой формуле, и не имеют никакого отношения к кривой $ABC$, показанной на этом рисунке как $BSE$.