2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:04 
найти
$\lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}/\ln^2\frac{(x+1)}{(x-1)}$
Скорее всего он должен решаться через следствие из замеч. предела $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$
заменим $y=1/x $его предел будет таким $\lim_{y\rightarrow0}\ln\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{1+\sqrt{1-y^2}}/\ln^2\frac{1+y}{1-y}$
адальше я запуталась, в итоге должна получится 1/8, может расписать логарифм дроби как логарифм разности?, хм...

 
 
 
 Re: предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:09 
Аватара пользователя
lodVera в сообщении #952874 писал(а):
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$

можно переписать так: $\ln y \sim (y-1)$ при $y\to 1$
Логарифмы лучше не раскрывать. Как есть: к чему стремятся аргументы логарифмов?

 
 
 
 Re: предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:10 
Аватара пользователя
В принципе, многократным применением замечательного предела эта штука как-то делается.

-- менее минуты назад --

Но ещё понадобится знать, что $\sqrt{1+z} \sim 1+{z\over2},z\to0$

 
 
 
 Re: предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:14 
Аватара пользователя
ИСН
Разве? Вроде без этого обошлось... А, я просто от корней избавлялась умножением на сопряженные.

 
 
 
 Re: предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:16 
ИСН в сообщении #952880 писал(а):

Но ещё понадобится знать, что $\sqrt{1+z} \sim 1+{z\over2},z\to0$

А откуда это должно следовать

 
 
 
 Re: предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:17 
Аватара пользователя
lodVera
А вы уже от логарифмов избавились? С корнями можете поступить, как я сказала.

 
 
 
 Re: предел логарифмической функции
Сообщение27.12.2014, 00:18 
Аватара пользователя
lodVera в сообщении #952883 писал(а):
А откуда это должно следовать

От верблюда. Я не знаю, какие средства у Вас уже есть (производные, ряды Тейлора, whatever).

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group