Левый смежный класс

[Danmir]

Доброго времени суток. Есть у меня такая задача: Найти левый и правый смежные классы группы ${ S }_{ 4 }$ по подгруппе $H=\left< \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \right>$ для элемента $g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$. Ищу левый смежный класс, для примера возьмем $g$ и умножим на первый элемент из $H$. Получим $gH=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix},... \right\} $ т.е $gH=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix},\quad ... \right\} $ Это как я понимю транспозиция, так как местами поменялись только 2 элемента, но что делать дальше не совсем понятно (просто умножать на каждый элемент из $H$ ?).
$H$, как я понимаю выглядит так $H=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \right\}$ т.е тут нейтральный элемент - это последняя перестановка, а порядок равен 3, т.к ${ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} }^{ 3 }={ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} }=\varepsilon$

[Sonic86]

Danmir в сообщении #952646 писал(а):

просто умножать на каждый элемент из $H$ ?

Да.
$gH=\{gh:h\in H\}$, и все.
(Само умножение не проверял)

Danmir в сообщении #952646 писал(а):

$H=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \right\}$

это верно

Danmir в сообщении #952646 писал(а):

а порядок равен 3, т.к ${ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} }^{ 3 }={ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} }=\varepsilon$

Это неверно.
Советую ознакомится с цикловой записью перестановок и с поиском порядка элемента по цикловой записи, хотя бы бегло.

Danmir в сообщении #952646 писал(а):

Получим $gH=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix},... \right\} $ т.е $gH=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix},\quad ... \right\} $

Как у Вас вводилось умножение перестановок: слева направо или наоборот?

[Danmir]

Sonic86
Почему не верно ?
${ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}={ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} } }$
${ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}={ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} } }$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}={ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} } }$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}={ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} } }$
Мы же за 3 умножения получили нейтральный элемент ?

[Sonic86]

Danmir в сообщении #952676 писал(а):

Мы же за 3 умножения получили нейтральный элемент ?

Умножений $3$.
Вот смотрите: $x\cdot x=x^2$. Какая степень икса получена? А сколько умножений?

[Danmir]

Sonic86
слева направо
Так, то есть ${ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} }^{ 4 }=\varepsilon $

[Sonic86]

Danmir в сообщении #952691 писал(а):

то есть ${ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} }^{ 4 }=\varepsilon $

Да.

Danmir в сообщении #952691 писал(а):

слева направо

значит

Danmir в сообщении #952646 писал(а):

$gH=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix},... \right\} $ т.е $gH=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix},\quad ... \right\} $

верно