Составление уравнения Шредингера

[Kitozavr]

Волновая функция двухуровневой системы зависит от двух обобщённых координат, то есть $\psi = \psi (\varphi, r)$. Также, её можно представить как произведение двух функций только от одного аргумента, то есть $\psi (\varphi, r) = \alpha(\varphi) \beta(r)$.
Гамильтониан системы есть комбинация операторов, каждый из которых действует только на одну из координат и представлен в виде матрицы $2 \times 2$.

$$ \hat H = i \hbar ( \nabla_\varphi + \nabla_r) + \hat A(\varphi) \hat B (r). $$

Как можно представить $\psi$, чтобы получить решабельное уравнение Шредингера $\hat H \psi = E \psi$ для такого случая? У меня единственная идея это двухкомпонентный вектор, но не понятно какие у него компоненты.

[warlock66613]

Противоречивое задание какое-то. Либо волновая функция должна быть двухкомпонентной, либо гамильтониан нематрицей. А иначе, по-моему, смысл придать не получается.

[Утундрий]

Также не определено свойство "решабельности" уравнения.

[Kitozavr]

warlock66613 в сообщении #952330 писал(а):

Либо волновая функция должна быть двухкомпонентной, либо гамильтониан нематрицей.

Волновая функция точно зависит от двух координат, а вот возможность представления её в виде произведения это моё предположение. Гамильтониан в виде матрицы я выбрал сам. Дело в том, что изначально в нём стояло произведение двух сложного вида операторов, которое пропорционально $\sigma_x$. Вот я и подумал, что проще будет решать матричное уравнение. Кстати, а почему так нельзя?

Утундрий в сообщении #952350 писал(а):

Также не определено свойство "решабельности" уравнения.

Ну, пусть это будет какое-нибудь осмысленное уравнение. Просто, я не пониманию что делать с произведением матрицы на функцию.

[warlock66613]

Kitozavr в сообщении #952409 писал(а):

Дело в том, что изначально в нём стояло произведение двух сложного вида операторов, которое пропорционально $\sigma_x$.

А, так там на самом деле $\sigma_x$. Так понятнее. Значит почти наверняка дела обстоят так.

Волновая функция на самом деле зависит от трёх координат: двух непрерывных $\varphi$ и $r$, и одной дискретной - обозначу её $s$ - $\psi(\varphi, r, s)$. Координата $s$ принимает два значения: $s = \uparrow, \downarrow$.

Стрелочки - это просто условное обозначение для двух значений этой величины. Можно обозначить $1$, $2$ - это всё равно. Просто каноническим примером реальной системы с такой дискретной координатой является электрон - кроме координат $x, y, z$ у него есть ещё проекция спина на какую-нибудь ось (обычно по традиции выбирают $z$) $s_z$, которая может принимать всего два значения ($\hbar/2$ и $-\hbar/2$), которые обычно называют просто "спин вверх", "спин вниз" и обозначают стрелочками. Ну а по аналогии эти обозначения со стрелочками используются для любых систем с любой дискретной координатой, принимающей два значения. Более того, такую координату бывает даже называют спином, хотя к настоящему спину она может не иметь никакого отношения.

Так вот проще всего (и поэтому так всегда и поступают) с такой волновой функцией, зависящей от дискретной координаты, разбираться, представив её в виде двухкомпонентного вектора $\psi(\varphi, r) = \begin{pmatrix} \psi(\varphi, r, \uparrow) \\ \psi(\varphi, r, \downarrow) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_{\uparrow}(\varphi, r) \\ \psi_{\downarrow}(\varphi, r) \end{pmatrix}$. А гамильтониан тогда как раз представляется в виде матрицы $2 \times 2$.

Ну вот собственно и всё. Можете приступать к решению.

-- 26.12.2014, 02:22 --

Kitozavr в сообщении #952409 писал(а):

вот возможность представления её в виде произведения это моё предположение

Вполне возможно совершенно неверное. И про двухуровневость системы тоже вы видимо сами придумали.

[Kitozavr]

warlock66613 в сообщении #952427 писал(а):

Волновая функция на самом деле зависит от трёх координат: двух непрерывных $\varphi$ и $r$, и одной дискретной - обозначу её $s$ - $\psi(\varphi, r, s)$. Координата $s$ принимает два значения: $s = \uparrow, \downarrow$.

Да, действительно, а я что-то и не подумал об этом. Спасибо, попробую так решить.