Задача Коши

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть задача Коши:

$$y^3y''=-3 \quad y(1)=1, \quad y'(1)=1$$

Заменяю

$$y'=p, \quad y''=p'p$$

получаю

$$y^3 p'p=-3$$

откуда нахожу

$$p= \pm \sqrt{\frac{3}{y^2}+C_{1}}$$

Используя начальное условие, нахожу

$$p= \sqrt{\frac{3}{y^2}-2}$$

или

$$y'= \sqrt{\frac{3}{y^2}-2}$$

откуда

$$y = \pm \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{(C_{2}-2x)^2}{2}}$$

Используя начальное условие, получаю два частных решения

$$y = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{(1-2x)^2}{2}}, \quad y = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{(3-2x)^2}{2}}$$

Но вот почему-то производная от первого решения при $x=1$ равна $-1$, что не соответствую начальному условию.

Подскажите, пожалуйста, на каком моменте это решение должно было исключиться.

Спасибо!

-- 25.12.2014, 03:31 --

PS. А рассуждаю я следующим образом: если не соответствует значение производной, то ошибка где-то в середине, где происходит обратная замена, но там всего одна функция, никаких плюсов/минусов нет...

[Limit79]

Вроде разобрался: уже после обратной замены получается выражение вида

$$\sqrt{...}=-2x+C_{2}$$

, откуда, из начальных условий получаем ограничение на константу $C_{2} \geqslant 2$, и тогда константа, при которой получается решение, которое не удовлетворяет задаче Коши, пропадает.