Двумерный случайный вектор и работа с ним

[Harfangi]

Доброго времени суток!

На контрольной работе по теории вероятностей досталось задание:

Задана функция распределения случайного вектора $(\xi,\eta)$:

$ F_{\xi,\eta}(x,y) =\begin{cases} 0,&\text{если $\min(x,y)\leqslant0$;}\\ \min(x,y),&\text{если $0<\min(x,y)\leqslant1$;}\\ 1,&\text{если $\min(x,y)>1$.} \end{cases} $

Необходимо определить следующую вероятность:
$P((\xi-1/2)^2 + (\eta -1/2)^2 \leqslant 1/9)$

Я полагаю (скорее всего, ошибочно), необходимо найти вероятность попадания в кружок с центром $(1/2,1/2)$ и радиусом $1/3$. Преподаватель подсказал, что необходимо выяснить какое распределение определяет предложенная функция. Если я правильно поняла мысль, то нужно дифференцировать F.

Мой вопрос заключается в следующем:
как дифференцировать минимум?

[ИСН]

Минимум дифференцировать не надо. Ведь нет никакого минимума. Он везде равен $x$. Ну, кроме тех мест, где он равен $y$. Знаете, что это за места? а как дифференцировать $x$? а $y$?

[provincialka]

Тут вообще похоже распределение не является абсолютно непрерывным. Производная-то вторая, смешанная. И равна она ...

-- 25.12.2014, 00:44 --

Harfangi
Вы выясните, на каком множестве $F(x,y)=x$ и на каком -- $F(x,y)=y$. Пусть прямоугольник полностью лежит в одной из этих областей. Какова вероятность паре с.в. попасть в этот прямоугольник?

[Harfangi]

provincialka
ИСН
Вы ведь говорите об одном и том же верно?

А $F(x,y) = x$ и $F(x,y) = y$ не задают границу нового множества?

Или я совсем не понимаю ничего про функцию $\min(x,y)$...

[provincialka]

Вот я точно совсем ничего не понимаю про "границу нового множества". Какого? Откуда взялось?

Просто подумайте: ведь $\min (x,y)$ равен или $x$, или $y$. Вот на каких частях плоскости реализуются эти возможности? Где $F=0$? Где $F=1$?

[Harfangi]

provincialka
$\min(x,y) = y, 0<y<x<1$
$\min(x,y) = x, 0<x<y<1$
$F = 1$ при $x=y=1$
$F = 0$ при $x=y=0$
вот это всё, что приходит на ум...

[provincialka]

Что-то уж очень кратко, особенно две последние строки. Там побольше "кусочки" будут.

А зачем в первых двух записях ограничивать переменные сверху? Например, для $x=2, y=0.5$ функция чему будет равна?

Ладно, если не хотите вставлять рисунки, то, может, хоть словами опишете ту область, где $F$ имеет нетривиальное значение (не 0 и не 1).

[--mS--]

Harfangi в сообщении #951814 писал(а):

Преподаватель подсказал, что необходимо выяснить какое распределение определяет предложенная функция. Если я правильно поняла мысль, то нужно дифференцировать F.

Нет, никакое дифференцирование здесь не нужно и не поможет.

Напишите определение функции распределения вектора $(\xi,\,\eta)$ и попробуйте сравнить определение с результатом:

Harfangi в сообщении #951886 писал(а):

$\min(x,y) = y, 0<y<x<1$
$\min(x,y) = x, 0<x<y<1$

Может быть, отсюда станет ясно, что из себя представляет этот вектор $(\xi,\,\eta)$.

[provincialka]

Harfangi
А вы таки попробуйте найти плотность, как смешанную производную от $F$. Не кажется вам результат странным?

[Harfangi]

provincialka

(Оффтоп)

Сегодня разобрали нам эту задачу... Полный я чайник в абстрактном мышлении, как оказалось (а возможно и в мышлении как таковом).

Суть есть в том, что действие происходит в квадрате $[0,1]\times[0,1]$. И в самом деле, вероятность ищется в круге, как я и предполагала. В квадрате проводят диагональ (она пройдет через центр круга). Заданная функция распределения выше диагонали будет равна $x$, а ниже $y$. Используя это знание и рисунок, определяем, что вся масса распределения сосредоточена на диагонали, и вероятность определится геометрически:

$P = \frac{(2/3)}{\sqrt{2}}$

Здесь 2/3 - диаметр круга, а $\sqrt{2}$ - длина диагонали.

Спасибо Вам за помощь!

[--mS--]

deleted

[Harfangi]

--mS--
Ответа?

[provincialka]

А почему на квадрате? В условии вроде не сказано... Впрочем, не важно. Если вы все поняли, то и слава богу.

[Otta]

Harfangi в сообщении #952357 писал(а):

Заданная функция распределения выше диагонали будет равна $x$, а ниже $y$. Используя это знание и рисунок, определяем, что вся масса распределения сосредоточена на диагонали, и вероятность определится геометрически:
$P = \frac{(2/3)}{\sqrt{2}}$

Вообще это жульничество, конечно. И что, что на диагонали? А вот интересно, если распределение такое:
$F_{\xi,\eta}(x,y) =\begin{cases}0,&\text{если}\min(x,y)\leqslant 0;\\ \min(x^2,y^2),&\text{если } 0<\min(x,y)\leqslant 1;\\1,&\text{если } \min(x,y)>1.\end{cases}$
То есть практически ничего не поменялось. Все на диагонали. А теперь как будем считать ту же вероятность?

(TeX)

Вы нарочно вставляете доллары в середину формулы, чтобы другие не имели возможности Вас процитировать и весь текст набирали с нуля?

[provincialka]

Если задание уже разобрали, то, наверное, объяснили, что там происходит на диагонали...