Оценка погрешности в формуле Тейлора

[Viktor92]

Разложим в качестве примера функцию $e^x$ в ряд Тейлора (Маклорена) в точке $x=0$.
$e^x=1+x/1!+...+x^n/n!+\frac{x^n+1}{(n+1)!}e^\xi$, с остаточным членом в форме Лагранжа.
Вычислим значение $e^3$, ограничимся $n=3$
$e^3\approx1+3+3^2/2!+3^3/3!\approx13$, более точное значение с округлением до целых $e^3\approx20$
Как видно наша абсолютная погрешность приближения $e^x$ в точке $3$ равна $20-13=7$, при $n=3$.
Теперь обратим задачу, найдём число $n$, при котором в точке $3$ функции $e^x$ абсолютная погрешность будет $\leq{10}$ (заметим что $7$ входит в данный диапазон).
$0\leq{\xi}\leq{3}$ откуда очевидно $e^\xi\leq{e^3}<21$, составим и решим подбором неравенство: $\frac{21\cdot 3^{n+1}}{(n+1)!}\leq{10}$, оно справедливо начиная только с $n>5$.
Как же так получается, что в точке $3$ разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена даёт на практике погрешность меньшую $10$ уже начиная с $n=3$, а оценка остаточного члена говорит о том, что надо взять $n>5$?

[Brukvalub]

Viktor92 в сообщении #951633 писал(а):

....
Как же так получается, что в точке $3$ разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена даёт на практике погрешность меньшую $10$ уже начиная с $n=3$, а оценка остаточного члена говорит о том, что надо взять $n>5$?

Оценка остаточного члена не говорит "надо взять", потому что не знает слова "надо".

[Viktor92]

Т.е. оценка даёт лишь гарантию того, что "доверившись" ей мы точно не совершим погрешность больше допустимой заданной наперёд, но это не значит, что ту же точность мы не получим взяв меньше членов в ряде Тейлора?

[Brukvalub]

Как догадались?

[grizzly]

Viktor92
Нужно добавить немного понимания.
Остаточный член (в форме Лагранжа, в данном случае) даёт Вам точное значение остатка ряда при некотором параметре $\xi \in (0;3)$ (кстати, почему Вы пишете $\xi \in [0;3]$?). Понятно, что в этом случае реальное $\xi $ меньше 3. Потому и получили такой люфт.

Подумайте на досуге, при каких условиях ситуация становится ещё хуже, чем в Вашем примере, а при каких -- лучше.

[Viktor92]

grizzly в сообщении #951685 писал(а):

(кстати, почему Вы пишете $\xi \in [0;3]$?

Ну просто я по примеру в учебнике делаю, там так написано, хотя понятно, что $\xi<3$ строго.

grizzly в сообщении #951685 писал(а):

Подумайте на досуге, при каких условиях ситуация становится ещё хуже, чем в Вашем примере, а при каких -- лучше.

Я так понимаю , чем ближе точка $x$ к точке, в которой мы аппроксимировали функцию многочленом Тейлора (в моём примере,чем ближе к 0), тем оценка остаточного члена будет более адекватна, потому что для $\xi$ будет меньший "разброс" значений.

[grizzly]

Да, для некоторой рассматриваемой функции (в Вашем примере -- для $e^x$). Но и от функции будет зависеть. Тут уж как повезёт, но проще не париться и брать сразу по-максимуму (в пределах разумного, конечно). На что Вам сразу и намекнули :)