2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Погрешность интерполяции на равномерной сетке
Сообщение23.12.2014, 02:01 
Решаю следующую задачу из численных методов:

Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке, обеспечивающую точность $10^{-3}$ при приближении функции $f(x) = e^x$ на отрезку $[0, 1]$.

Как известно, при интерполяции функции справедлива оценка погрешности $\|f - L_n\| \le \frac{\|f^{(n)}\| \|w_n\|}{n!}$, где $L_n$ - соответствующий интерполяционный многочлен, $w_n(x) = (x - x_1)\ldots(x-x_n)$, ($x_i$ - узлы интерполяции). В нашей задаче, очевидно $\|f^{(n)}\| = \max_{[0,1]} |f^{n}(x)| = e$.

Какая оценка для $\|w_n\|$ будет в случае равномерных узлов? Искал во многих справочниках, но так и нигде не нашел.

 
 
 
 Re: Погрешность интерполяции на равномерной сетке
Сообщение23.12.2014, 06:17 
Аватара пользователя
myjobisgop в сообщении #951010 писал(а):
Какая оценка для $\|w_n\|$ будет в случае равномерных узлов? Искал во многих справочниках, но так и нигде не нашел.
Какое отношение эта оценка имеет к вопросу в задаче?

 
 
 
 Re: Погрешность интерполяции на равномерной сетке
Сообщение23.12.2014, 08:27 
TOTAL в сообщении #951040 писал(а):
myjobisgop в сообщении #951010 писал(а):
Какая оценка для $\|w_n\|$ будет в случае равномерных узлов? Искал во многих справочниках, но так и нигде не нашел.
Какое отношение эта оценка имеет к вопросу в задаче?


Это единственный неизвестный параметр в оценке погрешности для данной задачи.

 
 
 
 Re: Погрешность интерполяции на равномерной сетке
Сообщение23.12.2014, 11:42 
Если не ошибаюсь, то можно показать, что $\|f - L_n\| \leqslant \frac{\|f^{(n)}\|}{n^{n+1}}$. Чтобы это получить, перейдите к переменной $t$, на каждом отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ меняющейся от $0$ до $1$, запишите произведение $w_n(x)$ как функцию $t$ и посмотрите на результат.

 
 
 
 Re: Погрешность интерполяции на равномерной сетке
Сообщение24.12.2014, 06:38 
Аватара пользователя
myjobisgop в сообщении #951057 писал(а):
TOTAL в сообщении #951040 писал(а):
myjobisgop в сообщении #951010 писал(а):
Какая оценка для $\|w_n\|$ будет в случае равномерных узлов? Искал во многих справочниках, но так и нигде не нашел.
Какое отношение эта оценка имеет к вопросу в задаче?
Это единственный неизвестный параметр в оценке погрешности для данной задачи.
Зачем его знать, что о нем знать?

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group