Интегрирование по частям

[RrX]

Наверное, вопрос будет глупым, но почему не получается проинтегрировать по-частям $\int \tg(x) dx$( сам интеграл я знаю )?
Интегрируем по-частям. $\int \tg(x) = \int \frac{1}{\cos(x)} \sin(x) dx$
Берём $ \frac{1}{\cos(x)} = u $, $ \sin(x)dx = dv$( следовательно, $v = -\cos(x)$, получаем $\int \frac{1}{\cos(x)} \sin(x) dx = -1 - \int \tg(x) dx$. Откуда $\int \tg(x) dx = -\frac{1}{2}$.
Подозреваю, где-то ошибка, но сам уже 3 раза проверил.

[provincialka]

Ошибка - забыли "плюс константа".

[grizzly]

provincialka в сообщении #950978 писал(а):

Ошибка - забыли "плюс константа".

Да, конечно, но ТС спрашивал про другую ошибку -- про то, что "минус на минус даёт плюс" перед интегралом в правой части.

[provincialka]

grizzly
А! Я не вглядывалась. Действительно, во втором слагаемом "минус" возникает насколько раз. Не так, как у ТС.

[RrX]

Точно, спасибо.
Но вопрос всё ещё стоит.
Получаем тогда, что $ 0 = -1$. И что же это значит?
Не каждую функцию, имеющую интеграл, можно интегрировать по частям?

[provincialka]

А вот теперь см первый ответ.

provincialka в сообщении #950978 писал(а):

Ошибка - забыли "плюс константа".

[cool.phenon]

Просто неопределённый интеграл -- это не функция, а множество, и множество не поменяется, если ко всем его элементам добавить любую постоянную. Со множествами нельзя вести себя так же вольно, как с функциями.

[RrX]

Понятно.
Ещё вопрос: очень часто многие интегралы считают сразу, отбрасывая константу в процессе решения( замены и т.д.), а в конце просто приплюсовывают. Как же определить, где это работает, а где нет?

-- 23.12.2014, 04:11 --

Да и почему сама формула везде пишется именно как $\int u dv = uv - \int v du$?
На той же википедии([spoiler]https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8F%D0%BC[/spoiler]) пишут о том, что вы указали, а затем просто считают интеграл, отбрасываю константу( в примерах ).

[cool.phenon]

Можно на каждом шаге прибавлять по постоянной, но опять же, ничего не изменится, а добавляют в конце для того, чтобы отличить функцию от множества. В формуле интегрирования по частям так пишут тоже только для того, чтобы не тащить кучу постоянных

[ИСН]

RrX в сообщении #951031 писал(а):

очень часто многие интегралы считают сразу, отбрасывая константу в процессе решения( замены и т.д.), а в конце просто приплюсовывают. Как же определить, где это работает, а где нет?

Очень часто многие кассиры берут из кассы 10-20 тыщ, а в конце отчётного периода кладут их обратно. Как же определить, где это работает, а где нет?
- Везде, где их не посередине спросят "ГДЕ ДЕНЬГИ".

RrX в сообщении #951031 писал(а):

Да и почему сама формула везде пишется именно как $\int u dv = uv - \int v du$?

А как бы ещё она могла писаться?

[Sinoid]

RrX в сообщении #950977 писал(а):

$\int \tg(x) = \int \frac{1}{\cos(x)} \sin(x) dx$

А где $dx$?

[RrX]

Sinoid, опечатался.

Цитата:

Очень часто многие кассиры берут из кассы 10-20 тыщ, а в конце отчётного периода кладут их обратно. Как же определить, где это работает, а где нет?
- Везде, где их не посередине спросят "ГДЕ ДЕНЬГИ".

Вообще, я тут рассмотрел более подробно и пришёл к выводу, что в случае с интегрированием никогда не спросят посередине.
$\int u dv = uv - \int v du$
Допустим, $dv = f(x)dx$( $f(x)$ может равняться и константе ). Тогда $v = F(x)$( $F(x)$ - первообразная )$ + C$. Далее:
$\int u dv = F(x)u + uC - \int u'F(x) + u'C dx = F(x)u + F(x)C - \int u'F(x)dx - uC = F(x)u - \int u'F(x)dx$.
Всё сходится, в конце всё равно получим константу от второго интеграла.

В общем, вопрос у меня всё равно остался по поводу интеграла в шапке. По всем правилам получаем $C-1=0$. Это просто значит, что интеграл не берётся данным способом, или что?

-- 23.12.2014, 19:55 --

cool.phenon, я понимаю. Вопрос был в том, что может ли в некоторых интегралах "изъятие-возвращение" константы повлиять на результат. Видимо, нет( судя по моим рассуждениям ).

[Otta]

RrX
Вы чего хотите от этой жизни? Берут ли Ваш стартовый интеграл по частям? Это все, чего Вы хотите? ))

Нет, не берут. Ибо нефиг.

[grizzly]

RrX в сообщении #951254 писал(а):

По всем правилам получаем $C-1=0$.

Когда совсем зацикливает, полезно на время переключиться на что-то другое. Забудьте пока про интегралы. И, судя по всему, Вам лучше двигаться шаг за шагом -- будет быстрее.

Давайте рассмотрим множество прямых $\{y=x+C, C\in \mathbb R\}$. Вы можете его себе представить?
А теперь представьте множество таких прямых $\{y=x+C-1, C\in \mathbb R\}$.
Сравните эти множества. Что можете о них сказать?

[RrX]

grizzly, множества совпадают.

Цитата:

Вы чего хотите от этой жизни? Берут ли Ваш стартовый интеграл по частям? Это все, чего Вы хотите? ))

Ну, для начала. Дальше - почему.