2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:46 
Задание звучит так:
Используя критерий Коши, исследовать сходимость последовательности
$x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac {\cos k!}{(2k-1)\cdot(2k+1)};\ n\in N$

Я преобразовал это вот так:
$x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac {\cos k!}{4k^2-1};\ n\in N$
Вычислил разность $\vert x_m-x_n \rvert$ при $m=2k; \ n=k$

$\vert x_m-x_n \rvert=\left\lvert \frac {\cos(k+1)!}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{\cos(2k)!}{16k^2-1}\right\rvert$
Дальше не знаю, как поступить. Обычно наименьшее слагаемое, умножается на их количество и сравнивается с этим выражением, а потом с $\varepsilon$, но в данном случае косинусы могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому мы не имеем права пользоваться вышеприведённым способом. Что в таком случае делать?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:51 
Аватара пользователя
Ну, косинус можно оценить, он здесь не особо нужен. А вот почему вы взяли только $m=2n$?

По идее, для этого ряда никакой Коши не нужен. Достаточно более простого признака. Но можно искусственно исползовать тот признак...

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:53 
provincialka в сообщении #950943 писал(а):
Ну, косинус можно оценить, он здесь не особо нужен. А вот почему вы взяли только $m=2n$?

По идее, для этого ряда никакой Коши не нужен. Достаточно более простого признака. Но можно искусственно исползовать тот признак...


Задание именно по критерию Коши, к сожалению. А как косинус оценить, можете натолкнуть на мысль, голова уже не работает, не могу сам добраться до решения.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:54 
Аватара пользователя
1

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:55 
Аватара пользователя
Ну, в военное время значение косинуса может достигать четырех. Но сейчас, вроде, время мирное.

А вы все-таки найдите "нормальное" решение, по признаку, а потом мы его и под "Коши" замаскируем!

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:57 
ИСН в сообщении #950946 писал(а):
1

Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

provincialka в сообщении #950947 писал(а):
Ну, в военное время значение косинуса может достигать четырех. Но сейчас, вроде, время мирное.

А вы все-таки найдите "нормальное" решение, по признаку, а потом мы его и под "Коши" замаскируем!

Не вариант, придирчивый и требовательный преподаватель.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение22.12.2014, 23:59 
Аватара пользователя
kostiv в сообщении #950948 писал(а):
Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

Да ну? Что, если взять десять разных косинусов, то благодаря каким-то трюкам с разными знаками их сумма может оказаться больше 10?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:00 
Аватара пользователя
kostiv в сообщении #950948 писал(а):
Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

А неравенство треугольника на что?
kostiv в сообщении #950948 писал(а):
придирчивый и требовательный преподаватель.
Так мы ему промежуточные рассуждения не покажем. А в конце все будет "по Коши". Все-таки, как и почему исходные ряд сходится?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:05 
provincialka в сообщении #950951 писал(а):
kostiv в сообщении #950948 писал(а):
Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

А неравенство треугольника на что?

Так вроде бы и без него нормально же. Я не очень понимаю какие претензии к оценке косинуса единицей.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:06 
Аватара пользователя
Ну а вдруг он больше её, когда отрицательный? Что тогда? :D

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:10 
ИСН в сообщении #950950 писал(а):
kostiv в сообщении #950948 писал(а):
Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

Да ну? Что, если взять десять разных косинусов, то благодаря каким-то трюкам с разными знаками их сумма может оказаться больше 10?


То есть вы предлагаете сделать так:
$\vert x_m-x_n \rvert=\left\lvert \frac {\cos(k+1)!}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{\cos(2k)!}{16k^2-1}\right\rvert\leq\left\lvert \frac {1}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{1}{16k^2-1}\right\rvert\ \leq \left\lvert(k-1)\cdot\frac{1}{4\cdot(k+1)^2-1}\right\rvert

Это правильно?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:11 
Аватара пользователя
Slow в сообщении #950954 писал(а):
Я не очень понимаю какие претензии к оценке косинуса единицей.
Это надо спрашивать у преподавателя kostiv. А, вернее, посмотреть, как ТС все это преподавателю объяснял.

-- 23.12.2014, 00:12 --

kostiv, я же вам уже говорила: не ограничивайте $m$ и $n$ частным случаем. Возьмите $m=n+p$, $p>0$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:15 
provincialka в сообщении #950959 писал(а):
kostiv, я же вам уже говорила: не ограничивайте $m$ и $n$ частным случаем. Возьмите $m=n+p$, $p>0$

Хорошо, но всё-таки для данного частного случая оценка правильно произведена?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:16 
kostiv в сообщении #950958 писал(а):
То есть вы предлагаете сделать так:
$\vert x_m-x_n \rvert=\left\lvert \frac {\cos(k+1)!}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{\cos(2k)!}{16k^2-1}\right\rvert\leq\left\lvert \frac {1}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{1}{16k^2-1}\right\rvert\ \leq \left\lvert(k-1)\cdot\frac{1}{4\cdot(k+1)^2-1}\right\rvert

Это правильно?

А почему нет? Откуда могут быть сомнения? Только зачем вам это? В критерии Коши разве $\forall m,n$, таких что $m=2n$?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 00:19 
Аватара пользователя
Правильно. Ведь для себя можно как рассуждать? Значения $\cos k!$ и по величине, и по знаку меняются так прихотливо, что нам никак не удастся за ним уследить. Единственный выход - убрать, оценить единицей. Только оформлено к вас не очень.

Для суммы без косинусов знак модуля не требуется. А вот неравенство треугольника написать совсем не лишнее.

 
 
 [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group