Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.

[kostiv]

Задание звучит так:
Используя критерий Коши, исследовать сходимость последовательности
$x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac {\cos k!}{(2k-1)\cdot(2k+1)};\ n\in N$

Я преобразовал это вот так:
$x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac {\cos k!}{4k^2-1};\ n\in N$
Вычислил разность $\vert x_m-x_n \rvert$ при $m=2k; \ n=k$

$\vert x_m-x_n \rvert=\left\lvert \frac {\cos(k+1)!}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{\cos(2k)!}{16k^2-1}\right\rvert$
Дальше не знаю, как поступить. Обычно наименьшее слагаемое, умножается на их количество и сравнивается с этим выражением, а потом с $\varepsilon$, но в данном случае косинусы могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому мы не имеем права пользоваться вышеприведённым способом. Что в таком случае делать?

[provincialka]

Ну, косинус можно оценить, он здесь не особо нужен. А вот почему вы взяли только $m=2n$?

По идее, для этого ряда никакой Коши не нужен. Достаточно более простого признака. Но можно искусственно исползовать тот признак...

[kostiv]

provincialka в сообщении #950943 писал(а):

Ну, косинус можно оценить, он здесь не особо нужен. А вот почему вы взяли только $m=2n$?

По идее, для этого ряда никакой Коши не нужен. Достаточно более простого признака. Но можно искусственно исползовать тот признак...

Задание именно по критерию Коши, к сожалению. А как косинус оценить, можете натолкнуть на мысль, голова уже не работает, не могу сам добраться до решения.

[ИСН]

1

[provincialka]

Ну, в военное время значение косинуса может достигать четырех. Но сейчас, вроде, время мирное.

А вы все-таки найдите "нормальное" решение, по признаку, а потом мы его и под "Коши" замаскируем!

[kostiv]

ИСН в сообщении #950946 писал(а):

1

Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

provincialka в сообщении #950947 писал(а):

Ну, в военное время значение косинуса может достигать четырех. Но сейчас, вроде, время мирное.

А вы все-таки найдите "нормальное" решение, по признаку, а потом мы его и под "Коши" замаскируем!

Не вариант, придирчивый и требовательный преподаватель.

[ИСН]

kostiv в сообщении #950948 писал(а):

Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

Да ну? Что, если взять десять разных косинусов, то благодаря каким-то трюкам с разными знаками их сумма может оказаться больше 10?

[provincialka]

kostiv в сообщении #950948 писал(а):

Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

А неравенство треугольника на что?

kostiv в сообщении #950948 писал(а):

придирчивый и требовательный преподаватель.

Так мы ему промежуточные рассуждения не покажем. А в конце все будет "по Коши". Все-таки, как и почему исходные ряд сходится?

[Slow]

provincialka в сообщении #950951 писал(а):

kostiv в сообщении #950948 писал(а):

Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

А неравенство треугольника на что?

Так вроде бы и без него нормально же. Я не очень понимаю какие претензии к оценке косинуса единицей.

[ИСН]

Ну а вдруг он больше её, когда отрицательный? Что тогда?

[kostiv]

ИСН в сообщении #950950 писал(а):

kostiv в сообщении #950948 писал(а):

Пробовал, такое решение забраковали именно из-за разных знаков у косинуса.

Да ну? Что, если взять десять разных косинусов, то благодаря каким-то трюкам с разными знаками их сумма может оказаться больше 10?

То есть вы предлагаете сделать так:
$\vert x_m-x_n \rvert=\left\lvert \frac {\cos(k+1)!}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{\cos(2k)!}{16k^2-1}\right\rvert\leq\left\lvert \frac {1}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{1}{16k^2-1}\right\rvert\ \leq \left\lvert(k-1)\cdot\frac{1}{4\cdot(k+1)^2-1}\right\rvert

Это правильно?

[provincialka]

Slow в сообщении #950954 писал(а):

Я не очень понимаю какие претензии к оценке косинуса единицей.

Это надо спрашивать у преподавателя kostiv. А, вернее, посмотреть, как ТС все это преподавателю объяснял.

-- 23.12.2014, 00:12 --

kostiv, я же вам уже говорила: не ограничивайте $m$ и $n$ частным случаем. Возьмите $m=n+p$, $p>0$

[kostiv]

provincialka в сообщении #950959 писал(а):

kostiv, я же вам уже говорила: не ограничивайте $m$ и $n$ частным случаем. Возьмите $m=n+p$, $p>0$

Хорошо, но всё-таки для данного частного случая оценка правильно произведена?

[Slow]

kostiv в сообщении #950958 писал(а):

То есть вы предлагаете сделать так:
$\vert x_m-x_n \rvert=\left\lvert \frac {\cos(k+1)!}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{\cos(2k)!}{16k^2-1}\right\rvert\leq\left\lvert \frac {1}{4\cdot(k+1)^2-1}+...+\frac{1}{16k^2-1}\right\rvert\ \leq \left\lvert(k-1)\cdot\frac{1}{4\cdot(k+1)^2-1}\right\rvert

Это правильно?

А почему нет? Откуда могут быть сомнения? Только зачем вам это? В критерии Коши разве $\forall m,n$, таких что $m=2n$?

[provincialka]

Правильно. Ведь для себя можно как рассуждать? Значения $\cos k!$ и по величине, и по знаку меняются так прихотливо, что нам никак не удастся за ним уследить. Единственный выход - убрать, оценить единицей. Только оформлено к вас не очень.

Для суммы без косинусов знак модуля не требуется. А вот неравенство треугольника написать совсем не лишнее.