диагональная ковариационная матрица

[AndreyL]

Дамы и Господа!

Возникла необходимость обработки малых многомерных выборок, т.е. когда объем выборки $n$ меньше размерности $m$ этого пространства. Полная задача такая: есть некоторая выборка $X$ векторов размерности $m$ и объема $n$, при этом $n<m$. Нужно оценить, насколько реально, что некоторый вектор $y$ взят из той же совокупности, что и выборка $X$. Работаем в рамках нормальных приближений.
Если бы было $n>m$, то можно было бы оценить центр $a$ и ковариационную матрицу $S$ по выборке, тогда, если $y$ и $X$ взяты из совокупности с многомерным нормальным распределением и одинаковыми центрами и ковариациями, то $f=\frac{n (n-m)}{m \left(n^2-1\right)}(y-a).S^{-1}(y-a)$подчиняется распределению Фишера с $m$ и $n-m$ степенями свободы.
Для случая $n<m$ выборочная ковариационная матрица окажется вырожденной. Но можно принять, что ковариационная матрица является диагональной (волевым решением). Тогда получается основной вопрос: как найти доверительный интервал для $(y-a).S^{-1}.(y-a)$, если известно, что истинная ковариационная матрица диагональная, соответственно, ее оценка $S$ тоже диагональная (внедиагональные элементы зануляются)?

[--mS--]

AndreyL в сообщении #949453 писал(а):

Для случая $n<m$ выборочная ковариационная матрица окажется вырожденной. Но можно принять, что ковариационная матрица является диагональной (волевым решением). Тогда получается основной вопрос: как найти доверительный интервал для $(y-a).S^{-1}.(y-a)$, если известно, что истинная ковариационная матрица диагональная, соответственно, ее оценка $S$ тоже диагональная (внедиагональные элементы зануляются)?

Эта штука распределена как $\dfrac{1}{n}\sum_1^m Z_i$, где $Z_i$ независимы и имеют распределение Фишера с $1,\, n-1$ степенями свободы. Можно, наверное, получить моделированием квантили этого распределения, да и всё.

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #950223 писал(а):

Эта штука распределена как $\dfrac{1}{n}\sum_1^m Z_i$, где $Z_i$ независимы и имеют распределение Фишера с $1,\, n-1$ степенями свободы. Можно, наверное, получить моделированием квантили этого распределения, да и всё.

Да, наверное Вы правы. Забавно, что эта сумма имеет распределение, близкое к Фишеру. По крайней мере для многих пар $n$ и $m$ удается подобрать такие $n_1$, $m_1$ и $\beta$, что $\beta (y-a).S^{-1}.(y-a)$ подчиняется распределению Фишера с $m_1$ и $n_1$ степенями свободы